Use multiplicadores de Lagrange para determinar o ponto do plano
cuja distância ao ponto
seja mínima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema que pede para encontrar o ponto no plano
que está mais próximo do ponto
. A gente vai usar multiplicadores de Lagrange, uma técnica de otimização com restrições. Para isso, vamos precisar calcular a distância entre pontos e montar uma equação que leve em conta a restrição do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no espaço. A fórmula da distância
entre
e
é:
Mas, pra facilitar a matemática, vamos minimizar o quadrado da distância, já que o mínimo do
também será o mínimo de
:
Passo 3
Agora, introduzimos a restrição do plano
. Usando os multiplicadores de Lagrange, a gente monta a função
:
Aqui,
é o multiplicador de Lagrange que vai nos ajudar a incorporar a restrição na otimização.
Passo 4
Para encontrar os pontos de mínimo, a gente tira as derivadas parciais de
em relação a
e
, e iguala a zero:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações:
Como
e
, isso implica que
.
Passo 6
Substituindo
na equação 4:
Agora, usando a equação 3
e sabendo que
:
Mas também sabemos que
:
Passo 7
Com
, e sabendo que
:
E usando
:
Resposta
O ponto no plano
que está mais próximo de
é
.
Exercícios relacionados
(e)
(d)
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(2)
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