Use multiplicadores de Lagrange para determinar o ponto do plano cuja distância ao ponto seja mínima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema que pede para encontrar o ponto no plano que está mais próximo do ponto . A gente vai usar multiplicadores de Lagrange, uma técnica de otimização com restrições. Para isso, vamos precisar calcular a distância entre pontos e montar uma equação que leve em conta a restrição do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no espaço. A fórmula da distância entre e é:
Mas, pra facilitar a matemática, vamos minimizar o quadrado da distância, já que o mínimo do também será o mínimo de :

Passo 3

Agora, introduzimos a restrição do plano . Usando os multiplicadores de Lagrange, a gente monta a função :
Aqui, é o multiplicador de Lagrange que vai nos ajudar a incorporar a restrição na otimização.

Passo 4

Para encontrar os pontos de mínimo, a gente tira as derivadas parciais de em relação a e , e iguala a zero:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações:
Como e , isso implica que .

Passo 6

Substituindo na equação 4:
Agora, usando a equação 3 e sabendo que :
Mas também sabemos que :

Passo 7

Com , e sabendo que :
E usando :

Resposta

O ponto no plano que está mais próximo de é .

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Calcule as derivadas das funções:
(e)
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(d)
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(2)
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(8)