Use a 1^a parte do T.F.C. para calcular a derivada das seguintes funções:
(f) z=integraltg x^x^2 1raiz2+t^4 d t

Passo 1

Vamos resolver a derivada da função . Para isso, vamos usar a Primeira Parte do Teorema Fundamental do Cálculo (TF.C.), que nos ajuda a encontrar a derivada de integrais definidas cujos limites dependem de . Vamos precisar calcular as derivadas dos limites da integral e aplicar a fórmula correspondente.

Passo 2

Segundo a Primeira Parte do Teorema Fundamental do Cálculo, se temos uma função definida por uma integral com limites superiores e inferiores que são funções de dzdx = f(b(x)) cdot db(x)dx - f(a(x)) cdot da(x)dx , ou seja, , então a derivada de em relação a é dada por:
Neste caso, , e .

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas dos limites da integral:
  1. Derivada de db(x)dx = 2x :
da(x)dx = sec^2 x
  1. Derivada de :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da derivada da integral:
dzdx = f(b(x)) cdot db(x)dx - f(a(x)) cdot da(x)dx
Substituindo dzdx = 1raiz2 + (x^2)^4 cdot 2x - 1raiz2 + (tan x)^4 cdot sec^2 x , dzdx = 2xraiz2 + x^8 - sec^2 xraiz2 + tan^4 x e :
Simplificando os termos dentro das raízes:

Resposta

A derivada da função é:
dzdx = 2xraiz2 + x^8 - sec^2 xraiz2 + tan^4 x

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