Use a 1^a parte do T.F.C. para calcular a derivada das seguintes funções:
(e) G(x)=integral1^x^4 sec (t) d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada da função usando a primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Isso significa que vamos precisar entender como derivar uma integral que tem o limite superior sendo uma função de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz a primeira parte do T.F.C.: se você tem uma função definida como uma integral com limite superior sendo uma função de G'(x) = f(u(x)) cdot u'(x) , ou seja, , então a derivada de em relação a é dada por:
Isso significa que você avalia a função dentro da integral no limite superior e multiplica pela derivada desse limite.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, temos:
  • u'(x) = ddx (x^4) = 4x^3
Então, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, aplicando o teorema:
G'(x) = f(u(x)) cdot u'(x) = sec(x^4) cdot 4x^3

Resposta

A derivada de G'(x) = 4x^3 cdot sec(x^4) é:

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