Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras, justificando as respostas, isto é, exibindo uma prova nos casos verdadeiros e dando um contraexemplo nos casos falsos. (Atenção: você pode assumir verdadeiras as propriedades de limites vistas em sala de aula.) Se existe lim x x0 f(x) e não existe lim x x0 g(x), então não existe lim x x0 f(x) g(x).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A questão trata de limites de funções, especificamente sobre o que acontece quando multiplicamos duas funções onde uma tem limite e a outra não. Precisamos verificar se a afirmação dada é verdadeira ou falsa, justificando com uma prova ou com um contraexemplo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a afirmação:
“Se existe e não existe , então não existe .”
Isso quer dizer que, se a função tem um limite quando se aproxima de e a função não tem esse limite, então o limite do produto também não existe.

Passo 3

Para verificar se essa afirmação é verdadeira, vamos pensar no seguinte:
  • Se tem um limite
  • E não tem limite quando se aproxima de , ou seja, não existe
Queremos ver o que acontece com .
Como está se aproximando de um valor finito , e não tem um comportamento definido (pode estar variando muito, indo para infinito, oscilando, etc.), o produto também não vai se estabilizar em um valor específico. Isso faz com que o limite do produto não exista.

Passo 4

Vamos corroborar isso com um exemplo:
Exemplo:
  • (constante)
  • quando e não está definida em
Aqui, , que existe.
Mas não existe, porque oscila entre -1 e 1 sem se estabilizar.
O produto também não terá um limite quando se aproxima de 0, já que continua oscilando entre -2 e 2.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se existe e não existe, então também não existe.

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