Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras, justificando as respostas, isto é, exibindo uma prova nos casos verdadeiros e dando um contraexemplo nos casos falsos. (Atenção: você pode assumir verdadeiras as propriedades de limites vistas em sala de aula.) Se existe
e não existe
, então não existe
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A questão trata de limites de funções, especificamente sobre o que acontece quando multiplicamos duas funções onde uma tem limite e a outra não. Precisamos verificar se a afirmação dada é verdadeira ou falsa, justificando com uma prova ou com um contraexemplo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a afirmação:
“Se existe
e não existe
, então não existe
.”
Isso quer dizer que, se a função
tem um limite quando
se aproxima de
e a função
não tem esse limite, então o limite do produto
também não existe.
Passo 3
Para verificar se essa afirmação é verdadeira, vamos pensar no seguinte:
- Se
tem um limite - E
não tem limite quando se aproxima de , ou seja, não existe
Queremos ver o que acontece com
.
Como
está se aproximando de um valor finito
, e
não tem um comportamento definido (pode estar variando muito, indo para infinito, oscilando, etc.), o produto
também não vai se estabilizar em um valor específico. Isso faz com que o limite do produto não exista.
Passo 4
Vamos corroborar isso com um exemplo:
Exemplo:
-
(constante) -
quando e não está definida em
Aqui,
, que existe.
Mas
não existe, porque
oscila entre -1 e 1 sem se estabilizar.
O produto
também não terá um limite quando
se aproxima de 0, já que continua oscilando entre -2 e 2.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se
existe e
não existe, então
também não existe.