Use, se possível, Séries Geométricas para decidir se as séries convergem ou divergem: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar, se der, Séries Geométricas para decidir se a série converge ou diverge. Então, o assunto aqui é Séries Geométricas e Convergência de Séries. Para resolver, vamos precisar entender como funciona uma série geométrica e aplicar critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma , onde:
  • a é o primeiro termo da série.
  • r é a razão comum entre os termos.
A série geométrica converge se o valor absoluto de r for menor que 1, ou seja, . Se , ela diverge.

Passo 3

Agora, vamos analisar a série que você trouxe: . Para ver se podemos usar a ideia de série geométrica, precisamos verificar se essa série se encaixa na forma de uma série geométrica ou se podemos manipulá-la para compará-la com uma série geométrica.
Observando , percebemos que o denominador cresce muito rápido, já que é uma potência de n com a base igual a n mesmo. Isso faz a série convergir rapidamente.

Passo 4

Apesar de a série não ser exatamente uma série geométrica, podemos comparar com uma série geométrica para determinar a convergência. Vamos considerar a série geométrica .
Vamos escolher r tal que para algum a e para todos os n a partir de um certo ponto. Como cresce muito mais rápido que para qualquer fixo, especialmente se , podemos afirmar que nossa série original está abaixo de uma série geométrica convergente.

Passo 5

Como podemos comparar a série com uma série geométrica convergente e ver que seus termos são menores, concluímos, pelo Teste da Comparação, que a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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