Use, se possível, Séries Geométricas para decidir se as séries convergem ou divergem:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar, se der, Séries Geométricas para decidir se a série
converge ou diverge. Então, o assunto aqui é Séries Geométricas e Convergência de Séries. Para resolver, vamos precisar entender como funciona uma série geométrica e aplicar critérios de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma
, onde:
- a é o primeiro termo da série.
- r é a razão comum entre os termos.
A série geométrica converge se o valor absoluto de r for menor que 1, ou seja,
. Se
, ela diverge.
Passo 3
Agora, vamos analisar a série que você trouxe:
. Para ver se podemos usar a ideia de série geométrica, precisamos verificar se essa série se encaixa na forma de uma série geométrica ou se podemos manipulá-la para compará-la com uma série geométrica.
Observando
, percebemos que o denominador cresce muito rápido, já que é uma potência de n com a base igual a n mesmo. Isso faz a série convergir rapidamente.
Passo 4
Apesar de a série não ser exatamente uma série geométrica, podemos comparar com uma série geométrica para determinar a convergência. Vamos considerar a série geométrica
.
Vamos escolher r tal que
para algum a e para todos os n a partir de um certo ponto. Como
cresce muito mais rápido que
para qualquer
fixo, especialmente se
, podemos afirmar que nossa série original está abaixo de uma série geométrica convergente.
Passo 5
Como podemos comparar a série
com uma série geométrica convergente e ver que seus termos são menores, concluímos, pelo Teste da Comparação, que a série original também converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Use, se possível, o Teste da Comparação para decidir se as séries convergem ou divergem:
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Use, se possível, Séries Geométricas para decidir se as séries convergem ou divergem:
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Use, se possível, o Teste da Razão para decidir se as séries convergem ou divergem:
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