Verifique se a função dada é um produto interno.
d. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai verificar se a função dada é um produto interno. Isso está relacionado à matéria de Álgebra Linear. Para isso, precisamos lembrar das propriedades que uma função deve ter para ser considerada um produto interno. Vamos analisar passo a passo usando essas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. Em Álgebra Linear, um produto interno em um espaço vetorial, como , é uma função que associa a cada par de vetores um número real, satisfazendo certas propriedades. Essas propriedades são:
Positividade: e se e somente se é o vetor nulo.
Linearidade na primeira posição: para todos vetores e escalares .
Simetria: para todos vetores .
Vamos verificar se a função dada satisfaz essas propriedades.
Passo 3
Função dada:
Vamos começar verificando a simetria.
Passo 4
Para verificar a simetria, vamos comparar com .
Se e , então:
Como a multiplicação é comutativa (), temos:
Portanto, a simetria está satisfeita.
Passo 5
Agora, vamos verificar a linearidade na primeira posição. Isso significa que, para quaisquer vetores e escalares , a seguinte igualdade deve ser válida:
Vamos testar isso com vetores gerais.
Se , e , então:
Calculando :
Assim, a linearidade na primeira posição está satisfeita.
Passo 6
Por último, vamos verificar a positividade. Ou seja, precisamos que:
e
Vamos calcular para um vetor geral :
Agora, analisamos se para todos os .
Problema: Se tomarmos, por exemplo, , , :
Isso mostra que a positividade não é satisfeita, já que encontramos um vetor não nulo onde .
Resposta
Não, a função dada não é um produto interno porque não satisfaz a propriedade de positividade.