Verifique se a função dada é um produto interno.
d. lang<=rang<=:, R^3 R^3, lang<=(x1, y1, z1),(x2, y2, z2)rang<==x1 x2-y1 y2+z1 z2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai verificar se a função dada é um produto interno. Isso está relacionado à matéria de Álgebra Linear. Para isso, precisamos lembrar das propriedades que uma função deve ter para ser considerada um produto interno. Vamos analisar passo a passo usando essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. Em Álgebra Linear, um produto interno em um espaço vetorial, como , é uma função que associa a cada par de vetores um número real, satisfazendo certas propriedades. Essas propriedades são:
  1. Positividade: e se e somente se é o vetor nulo.
  2. Linearidade na primeira posição: para todos vetores e escalares .
  3. Simetria: para todos vetores .
Vamos verificar se a função dada satisfaz essas propriedades.

Passo 3

Função dada:
lang<= (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) rang<= = x1x2 - y1y2 + z1z2
Vamos começar verificando a simetria.

Passo 4

Para verificar a simetria, vamos comparar lang<= u, v rang<= = x1x2 - y1y2 + z1z2 com lang<= v, u rang<= = x2x1 - y2y1 + z2z1 .
Se lang<= u, v rang<= = lang<= v, u rang<= e , então:
Como a multiplicação é comutativa ( ), temos:
Portanto, a simetria está satisfeita.

Passo 5

Agora, vamos verificar a linearidade na primeira posição. Isso significa que, para quaisquer vetores lang<= a u + b w, v rang<= = a lang<= u, v rang<= + b lang<= w, v rang<= e escalares a u + b w = (a x1 + b x3, a y1 + b y3, a z1 + b z3) , a seguinte igualdade deve ser válida:
lang<= a u + b w, v rang<= = (a x1 + b x3)x2 - (a y1 + b y3)y2 + (a z1 + b z3)z2
Vamos testar isso com vetores gerais.
Se = a x1x2 + b x3x2 - a y1y2 - b y3y2 + a z1z2 + b z3z2 , = a(x1x2 - y1y2 + z1z2) + b(x3x2 - y3y2 + z3z2) e = a lang<= u, v rang<= + b lang<= w, v rang<= , então:
Calculando :
Assim, a linearidade na primeira posição está satisfeita.

Passo 6

Por último, vamos verificar a positividade. Ou seja, precisamos que:
lang<= v, v rang<= >= 0
e
lang<= v, v rang<= = 0 se e somente se v = 0
Vamos calcular lang<= v, v rang<= = x cdot x - y cdot y + z cdot z = x^2 - y^2 + z^2 para um vetor geral lang<= v, v rang<= = 0^2 - 2^2 + 0^2 = -4 < 0 :
Agora, analisamos se para todos os .
Problema: Se tomarmos, por exemplo, , , :
Isso mostra que a positividade não é satisfeita, já que encontramos um vetor não nulo onde .

Resposta

Não, a função dada não é um produto interno porque não satisfaz a propriedade de positividade.

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