Verifique se a função dada é um produto interno.
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.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai verificar se a função dada é um produto interno. Isso está relacionado à matéria de Álgebra Linear. Para isso, precisamos lembrar das propriedades que uma função deve ter para ser considerada um produto interno. Vamos analisar passo a passo usando essas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. Em Álgebra Linear, um produto interno em um espaço vetorial, como
, é uma função que associa a cada par de vetores um número real, satisfazendo certas propriedades. Essas propriedades são:
- Positividade:
e se e somente se é o vetor nulo. - Linearidade na primeira posição:
para todos vetores e escalares . - Simetria:
para todos vetores .
Vamos verificar se a função dada satisfaz essas propriedades.
Passo 3
Função dada:
Vamos começar verificando a simetria.
Passo 4
Para verificar a simetria, vamos comparar
com
.
Se
e
, então:
Como a multiplicação é comutativa (
), temos:
Portanto, a simetria está satisfeita.
Passo 5
Agora, vamos verificar a linearidade na primeira posição. Isso significa que, para quaisquer vetores
e escalares
, a seguinte igualdade deve ser válida:
Vamos testar isso com vetores gerais.
Se
,
e
, então:
Calculando
:
Assim, a linearidade na primeira posição está satisfeita.
Passo 6
Por último, vamos verificar a positividade. Ou seja, precisamos que:
e
Vamos calcular
para um vetor geral
:
Agora, analisamos se
para todos os
.
Problema: Se tomarmos, por exemplo,
,
,
:
Isso mostra que a positividade não é satisfeita, já que encontramos um vetor não nulo onde
.
Resposta
Não, a função dada não é um produto interno porque não satisfaz a propriedade de positividade.