Use o Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt para ortonormalizar a base canônica
com relação ao produto interno da questão anterior.
Passo 1
Então, galera, temos um exercício que pede para gente usar o Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt pra ortonormalizar a base canônica
no espaço dos polinômios de grau até 2,
. Isso está relacionado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e produtos internos. Vamos precisar entender como o Gram-Schmidt funciona e aplicar isso passo a passo para obter uma base ortonormal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ortonormalizar uma base. Uma base ortonormal é um conjunto de vetores que são todos unitários (norma igual a 1) e mutuamente ortogonais (o produto interno entre dois vetores diferentes é zero). O Processo de Gram-Schmidt nos ajuda a transformar uma base qualquer em uma base ortonormal.
Passo 3
Vamos começar com o primeiro vetor da base
, que é
. Para torná-lo unitário, calculamos a norma de
usando o produto interno definido no espaço. Supondo que o produto interno seja:
Então, a norma de
é:
Agora, normalizamos
:
Passo 4
Agora, vamos para o segundo vetor
. Primeiro, precisamos torná-lo ortogonal a
. Calculamos a projeção de
em
:
Calculando a integral:
Então, a projeção é zero, e
já está ortogonal a
. Agora, normalizamos
:
Então,
Passo 5
Vamos para o terceiro vetor
. Precisamos torná-lo ortogonal a
e
. Calculamos as projeções:
Primeiro, a projeção em
:
Depois, a projeção em
:
A segunda integral é zero porque a função
é ímpar e integrada simetricamente.
Então, o vetor ortogonalizado é:
Agora, normalizamos
:
Então,
Resposta
A base ortonormalizada resultante é: