Use o Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt para ortonormalizar a base canônica beta=1, t, t^2 subset P2(R) com relação ao produto interno da questão anterior.

Passo 1

Então, galera, temos um exercício que pede para gente usar o Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt pra ortonormalizar a base canônica no espaço dos polinômios de grau até 2, . Isso está relacionado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e produtos internos. Vamos precisar entender como o Gram-Schmidt funciona e aplicar isso passo a passo para obter uma base ortonormal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ortonormalizar uma base. Uma base ortonormal é um conjunto de vetores que são todos unitários (norma igual a 1) e mutuamente ortogonais (o produto interno entre dois vetores diferentes é zero). O Processo de Gram-Schmidt nos ajuda a transformar uma base qualquer em uma base ortonormal.

Passo 3

Vamos começar com o primeiro vetor da base lang<= f, g rang<= = integral-1^1 f(t)g(t),dt , que é |v1| = raizlang<= v1, v1 rang<= = raizintegral-1^1 1 cdot 1,dt = raiz2 . Para torná-lo unitário, calculamos a norma de e1 = v1|v1| = 1raiz2 usando o produto interno definido no espaço. Supondo que o produto interno seja:
Então, a norma de é:
Agora, normalizamos :

Passo 4

Agora, vamos para o segundo vetor proje1 v2 = lang<= v2, e1 rang<= e1 = ( integral-1^1 t cdot 1raiz2,dt ) 1raiz2 . Primeiro, precisamos torná-lo ortogonal a integral-1^1 t,dt = 0 . Calculamos a projeção de |v2| = raizlang<= v2, v2 rang<= = raizintegral-1^1 t^2,dt = raiz23 em e2 = v2|v2| = t cdot raiz32 :
Calculando a integral:
Então, a projeção é zero, e já está ortogonal a . Agora, normalizamos :
Então,

Passo 5

Vamos para o terceiro vetor proje1 v3 = lang<= v3, e1 rang<= e1 = ( integral-1^1 t^2 cdot 1raiz2,dt ) 1raiz2 = 1raiz2 cdot raiz23 = 13 . Precisamos torná-lo ortogonal a proje2 v3 = lang<= v3, e2 rang<= e2 = ( integral-1^1 t^2 cdot t cdot raiz32,dt ) raiz32 = 0 e u3 = v3 - proje1 v3 - proje2 v3 = t^2 - 13 . Calculamos as projeções:
Primeiro, a projeção em |u3| = raizintegral-1^1 (t^2 - 13)^2,dt = raiz845 = 2raiz1015 :
e3 = u3|u3| = (t^2 - 13) cdot 152raiz10 = 152raiz10 (t^2 - 13)
Depois, a projeção em :
A segunda integral é zero porque a função é ímpar e integrada simetricamente.
Então, o vetor ortogonalizado é:
Agora, normalizamos :
Então,

Resposta

A base ortonormalizada resultante é:
, 1raiz2,; t cdot raiz32,; 152raiz10 (t^2 - 13) ,

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