Use um produto misto para determinar o volume do paralelepípedo que tem u, ve w como arestas adjacentes.
30. u=lang<= 1,-2,1rang<=, v=lang<= 3,0,-2rang<=, w=lang<= 5,-4,0rang<=

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o volume de um paralelepípedo usando o produto misto. O enunciado nos dá três vetores que representam as arestas adjacentes desse paralelepípedo: u = lang<= 1, -2, 1 rang<=, v = lang<= 3, 0, -2 rang<= e w = lang<= 5, -4, 0 rang<=. Para isso, vamos precisar entender como calcular o produto misto, que envolve o produto vetorial e o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto misto. O produto misto de três vetores u, v e w é dado por:
u cdot (v times w)
Esse produto resulta em um número que, em módulo, nos dá o volume do paralelepípedo formado por esses vetores.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial v times w primeiro. O produto vetorial de dois vetores a = lang<= a1, a2, a3 rang<= e b = lang<= b1, b2, b3 rang<= é dado por:
a times b = lang<= a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1 rang<=
Aplicando isso aos vetores v e w:
v times w = lang<= (0)(0) - (-2)(-4), (-2)(5) - 3(0), 3(-4) - 0(5) rang<=
Calculando cada componente:
v times w = lang<= 0 - 8, -10 - 0, -12 - 0 rang<= = lang<= -8, -10, -12 rang<=

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar u cdot (v times w). O produto escalar de dois vetores c = lang<= c1, c2, c3 rang<= e d = lang<= d1, d2, d3 rang<= é:
c cdot d = c1d1 + c2d2 + c3d3
Aplicando isso:
u cdot (v times w) = (1)(-8) + (-2)(-10) + (1)(-12)
Calculando cada termo:
-8 + 20 - 12 = 0

Resposta

O volume do paralelepípedo é 0. Isso significa que os vetores u, v e w são coplanares.

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