Use um produto misto para determinar o volume do paralelepípedo que tem u, ve w como arestas adjacentes.
30.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o volume de um paralelepípedo usando o produto misto. O enunciado nos dá três vetores que representam as arestas adjacentes desse paralelepípedo:
,
e
. Para isso, vamos precisar entender como calcular o produto misto, que envolve o produto vetorial e o produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto misto. O produto misto de três vetores
,
e
é dado por:
Esse produto resulta em um número que, em módulo, nos dá o volume do paralelepípedo formado por esses vetores.
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial
primeiro. O produto vetorial de dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso aos vetores
e
:
Calculando cada componente:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar
. O produto escalar de dois vetores
e
é:
Aplicando isso:
Calculando cada termo:
Resposta
O volume do paralelepípedo é
. Isso significa que os vetores
,
e
são coplanares.