Use a Regra da Cadeia para achar a derivada
quando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função
onde
e
. O que a gente precisa fazer é encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é uma técnica fundamental no cálculo para derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
depende de
e
, que por sua vez dependem de
. Então, para encontrar
, precisamos considerar como
muda quando
e
mudam com respeito a
.
Passo 3
A Regra da Cadeia nos diz que:
Ou seja, a derivada total de
em relação a
é a soma das derivadas parciais de
em relação a cada variável (
e
) multiplicadas pelas derivadas dessas variáveis em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
- Derivada de
em relação a :
Isso porque ao derivar
em relação a
dá
, e ao derivar
em relação a
dá
.
- Derivada de
em relação a :
Similarmente, derivar
em relação a
dá
, e derivar
em relação a
dá
.
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
- Derivada de
em relação a :
Porque a derivada de
é
.
- Derivada de
em relação a :
Já que a derivada de
é ela mesma.
Passo 6
Agora, vamos substituir tudo de volta na fórmula da Regra da Cadeia:
Passo 7
Por fim, substituímos
e
na expressão acima:
Podemos simplificar um pouco, se quiser:
Resposta
A derivada
é:
Exercícios relacionados
Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta. A integral
é positiva.
Nos itens abaixo, determine
.
Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta.
.
Calcule os seguintes limites: