2,0 Use a Regra da Cadeia para achar a derivada d z / d t quando z = x^2 + y^2 + x * y, com x = sen(t) e y = e^t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função onde e . O que a gente precisa fazer é encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é uma técnica fundamental no cálculo para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que depende de e , que por sua vez dependem de . Então, para encontrar , precisamos considerar como muda quando e mudam com respeito a .

Passo 3

A Regra da Cadeia nos diz que:
Ou seja, a derivada total de em relação a é a soma das derivadas parciais de em relação a cada variável ( e ) multiplicadas pelas derivadas dessas variáveis em relação a .

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
  1. Derivada de em relação a :
Isso porque ao derivar em relação a , e ao derivar em relação a .
  1. Derivada de em relação a :
Similarmente, derivar em relação a , e derivar em relação a .

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas de e em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
Porque a derivada de é .
  1. Derivada de em relação a :
Já que a derivada de é ela mesma.

Passo 6

Agora, vamos substituir tudo de volta na fórmula da Regra da Cadeia:

Passo 7

Por fim, substituímos e na expressão acima:
Podemos simplificar um pouco, se quiser:

Resposta

A derivada é:

Exercícios relacionados

Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta. A integral integral1^2 ln (1x) d x é positiva.
Nos itens abaixo, determine partial fpartial x e partial fpartial y.
h(r, s)=raizrs-raizsr
Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta. dd x integral0^x^2 raiz1+t d t=x^2 raiz1+x^2.
Calcule os seguintes limites: lim x +infty (3 x^4-8)^12(x^5-1)^10