Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas. z=y^2 tan x ; x=t^2 u v ; y=u+t v^2; partial zpartial t, partial zpartial u e partial zpartial v quando t=2, u=1 e v=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais de em relação a , e . A regra da cadeia ajuda quando uma função depende de outras funções. Aqui, depende de e , e e dependem de , e . Então, vamos precisar calcular algumas derivadas intermediárias para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as funções que a gente tem:
z = y^2 tan x
x = t^2 u v
y = u + t v^2
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a , e usando a regra da cadeia.

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas derivadas. Por exemplo, para partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t , aplicamos a regra da cadeia:
Fazendo o mesmo para e , a gente tem expressões similares.

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais intermediárias:
partial zpartial x = y^2 sec^2 x
partial zpartial y = 2y tan x
partial xpartial t = 2t u v
partial xpartial u = t^2 v
partial xpartial v = t^2 u
partial ypartial t = v^2
partial ypartial u = 1
partial ypartial v = 2t v

Passo 5

Agora, substituímos os valores partial xpartial t = 2 cdot 2 cdot 1 cdot 0 = 0 , partial xpartial u = 2^2 cdot 0 = 0 e partial xpartial v = 2^2 cdot 1 = 4 nas derivadas intermediárias:
partial ypartial t = 0^2 = 0
partial ypartial u = 1
partial ypartial v = 2 cdot 2 cdot 0 = 0
partial zpartial x = 1^2 cdot sec^2(0) = 1 cdot 1 = 1
partial zpartial y = 2 cdot 1 cdot tan(0) = 0
Além disso, com e :

Passo 6

Finalmente, calculamos cada derivada parcial:
partial zpartial t = 1 cdot 0 + 0 cdot 0 = 0
partial zpartial u = 1 cdot 0 + 0 cdot 1 = 0
partial zpartial v = 1 cdot 4 + 0 cdot 0 = 4

Resposta

partial zpartial t = 0, partial zpartial u = 0, partial zpartial v = 4

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