Utilize a regra da cadeia para determinar partial zpartial s e partial zpartial t. z=e^x y tan y, x=s+2 t, y=st

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas parciais e . O problema nos dá as seguintes funções:
A Regra da Cadeia é útil quando temos funções compostas, ou seja, quando uma variável depende de outras variáveis que, por sua vez, dependem de mais variáveis. Nesse caso, depende de e , e e dependem de e . Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , e também as derivadas de e em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de partial zpartial x = partialpartial x ( e^xy tan y ) = e^xy tan y cdot y em relação a partial zpartial y = partialpartial y ( e^xy tan y ) = e^xy cdot x cdot tan y + e^xy cdot sec^2 y e .
A derivada de em relação a :
Isso porque a derivada de em relação a é , e é tratado como constante em relação a .
A derivada de em relação a :
Aqui, usamos a regra do produto. A derivada de em relação a é , e a derivada de é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de partial xpartial s = 1 e partial xpartial t = 2 e partial ypartial s = 1t e partial ypartial t = -st^2 em relação a e .
Primeiro, para :
Já para :
Essas derivadas mostram como e mudam quando ou mudam.

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra da Cadeia para encontrar partial zpartial s = partial zpartial x cdot partial xpartial s + partial zpartial y cdot partial ypartial s e partial zpartial s = e^xy tan y cdot y cdot 1 + ( e^xy x tan y + e^xy sec^2 y ) cdot 1t .
Para partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t :
partial zpartial t = e^xy tan y cdot y cdot 2 + ( e^xy x tan y + e^xy sec^2 y ) cdot ( -st^2 )
Substituindo as derivadas que encontramos:
Para :
Substituindo as derivadas:

Passo 5

Podemos simplificar as expressões finais para ter uma resposta mais limpa.
Para partial zpartial s = e^xy y tan y + e^xy ( x tan y + sec^2 y ) cdot 1t :
partial zpartial t = 2 e^xy y tan y - e^xy ( x tan y + sec^2 y ) cdot st^2
Para :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial s = e^xy y tan y + e^xy (x tan y + sec^2 y)t
partial zpartial t = 2 e^xy y tan y - e^xy (x tan y + sec^2 y) st^2

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