Utilize a regra da cadeia para determinar
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas parciais
e
. O problema nos dá as seguintes funções:
A Regra da Cadeia é útil quando temos funções compostas, ou seja, quando uma variável depende de outras variáveis que, por sua vez, dependem de mais variáveis. Nesse caso,
depende de
e
, e
e
dependem de
e
. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e também as derivadas de
e
em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada de
em relação a
:
Isso porque a derivada de
em relação a
é
, e
é tratado como constante em relação a
.
A derivada de
em relação a
:
Aqui, usamos a regra do produto. A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
e
.
Primeiro, para
:
Já para
:
Essas derivadas mostram como
e
mudam quando
ou
mudam.
Passo 4
Agora, aplicamos a Regra da Cadeia para encontrar
e
.
Para
:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Para
:
Substituindo as derivadas:
Passo 5
Podemos simplificar as expressões finais para ter uma resposta mais limpa.
Para
:
Para
:
Resposta
As derivadas parciais são: