Use a Regra da Cadeia para determinar partial z / partial s e partial z / partial t.
z=x arctg(x y), x=t^2, y=s e^t

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para usarmos a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas parciais de z = x cdot arctan(x y), x = t^2, y = s e^t em relação a e . A gente tem as seguintes funções:
Vamos precisar entender como depende de e através de e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar partial zpartial s = partial zpartial y cdot partial ypartial s . Como depende de que, por sua vez, depende de , aplicamos a Regra da Cadeia. A fórmula geral é:
Vamos calcular cada parte.

Passo 3

Calculando y = s e^t Rightarrow partial ypartial s = e^t :
Isso porque a derivada de em relação a é 1, e é constante em relação a .

Passo 4

Agora, calculando z = x cdot arctan(x y) :
partial zpartial y = x cdot 11 + (x y)^2 cdot x = x^21 + x^2 y^2
A derivada de em relação a é . Então:

Passo 5

Agora, juntando tudo para partial zpartial s = x^21 + x^2 y^2 cdot e^t :
Mas lembre-se que e , então podemos substituir se necessário.

Passo 6

Agora, vamos encontrar partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t . Aqui, depende de e , que ambos dependem de . Então, aplicamos a Regra da Cadeia:
Vamos calcular cada termo.

Passo 7

Calculando x = t^2 Rightarrow partial xpartial t = 2t :
y = s e^t Rightarrow partial ypartial t = s e^t
Calculando :

Passo 8

Agora, calculando z = x cdot arctan(x y) :
partial zpartial x = arctan(x y) + x cdot 11 + (x y)^2 cdot y = arctan(x y) + x y1 + x^2 y^2
Usando a regra do produto:

Passo 9

Já temos partial zpartial y = x^21 + x^2 y^2 calculado anteriormente:

Passo 10

Agora, juntando tudo para partial zpartial t = ( arctan(x y) + x y1 + x^2 y^2 ) cdot 2t + x^21 + x^2 y^2 cdot s e^t :
Substituindo e se necessário.

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial s = t^41 + t^4 s^2 e^2t cdot e^t
partial zpartial t = ( arctan(t^2 s e^t) + t^3 s e^t1 + t^4 s^2 e^2t ) cdot 2t + t^41 + t^4 s^2 e^2t cdot s e^t

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