Use a Regra da Cadeia para determinar
e
.
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para usarmos a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. A gente tem as seguintes funções:
Vamos precisar entender como
depende de
e
através de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
. Como
depende de
que, por sua vez, depende de
, aplicamos a Regra da Cadeia. A fórmula geral é:
Vamos calcular cada parte.
Passo 3
Calculando
:
Isso porque a derivada de
em relação a
é 1, e
é constante em relação a
.
Passo 4
Agora, calculando
:
A derivada de
em relação a
é
. Então:
Passo 5
Agora, juntando tudo para
:
Mas lembre-se que
e
, então podemos substituir se necessário.
Passo 6
Agora, vamos encontrar
. Aqui,
depende de
e
, que ambos dependem de
. Então, aplicamos a Regra da Cadeia:
Vamos calcular cada termo.
Passo 7
Calculando
:
Calculando
:
Passo 8
Agora, calculando
:
Usando a regra do produto:
Passo 9
Já temos
calculado anteriormente:
Passo 10
Agora, juntando tudo para
:
Substituindo
e
se necessário.
Resposta
As derivadas parciais são: