Use a regra da cadeia para encontrar a derivada das seguintes funções: f(x) = x * e^(-k * x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar a sua derivada usando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar conhecer a derivada de funções exponenciais e como aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos identificar as partes da função que envolvem a regra da cadeia. A função é composta por duas partes:
  1. — uma função linear.
  2. — uma função exponencial onde o expoente é uma função de .

Passo 3

Para derivar , vamos usar a regra do produto, que é usada quando temos o produto de duas funções. A regra do produto diz que:
Aqui, e .

Passo 4

Vamos encontrar a derivada de cada parte:
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :
    Para derivar , usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que a derivada de onde é uma função de é .
    Aqui, , então:

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do produto:

Passo 6

Simplificando a expressão:
Podemos fatorar para deixar a expressão mais elegante:

Resposta

A derivada da função é:

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