Use a regra da cadeia para encontrar a derivada das seguintes funções:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar a sua derivada usando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar conhecer a derivada de funções exponenciais e como aplicar a regra da cadeia.
Passo 2
Vamos identificar as partes da função que envolvem a regra da cadeia. A função
é composta por duas partes:
-
— uma função linear. -
— uma função exponencial onde o expoente é uma função de .
Passo 3
Para derivar
, vamos usar a regra do produto, que é usada quando temos o produto de duas funções. A regra do produto diz que:
Aqui,
e
.
Passo 4
Vamos encontrar a derivada de cada parte:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Para derivar, usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que a derivada de onde é uma função de é .
Aqui,, então:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra do produto:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Podemos fatorar
para deixar a expressão mais elegante:
Resposta
A derivada da função
é: