Use a Regra de Simpson com n=10 para aproximar a integral dada. Arredonde seus resultados para seis casas decimais. integral2^4 1ln x d x

Passo 1

Beleza, então a gente tem que aproximar a integral usando a Regra de Simpson com . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente das técnicas de aproximação de integrais definidas. Vamos precisar dividir o intervalo de integração em 10 partes iguais e calcular certos valores da função para aplicar a regra corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o tamanho de cada subintervalo, que é .

Passo 3

Agora, vamos calcular os pontos onde vamos avaliar a função x0 = 2, x1 = 2,2, x2 = 2,4, ldots, x10 = 4 . Esses pontos são:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular os valores da função nesses pontos:
f(x0) = 1ln 2 approx 1,4427
f(x1) = 1ln 2,2 approx 1,3480
f(x2) = 1ln 2,4 approx 1,2752
vdots
f(x10) = 1ln 4 approx 0,7213
(Nota: Os valores aproximados de foram calculados usando uma calculadora científica.)

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de Simpson:
integral2^4 1ln x , dx approx h3 [ f(x0) + 4 sumi=1,3,5,7,9 f(xi) + 2 sumi=2,4,6,8 f(xi) + f(x10) ]

Passo 6

Vamos somar os valores:
Soma dos termos com coeficiente 4: 4(f(x1) + f(x3) + f(x5) + f(x7) + f(x9)) approx 4(1,3480 + 1,2005 + 1,1003 + 1,0142 + 0,8405) approx 4(5,5035) = 22,014
Soma dos termos com coeficiente 2: 2(f(x2) + f(x4) + f(x6) + f(x8)) approx 2(1,2752 + 1,1503 + 1,0506 + 0,9162) approx 2(4,3923) = 8,7846
Valores de f(x0) e f(x10): 1,4427 + 0,7213 = 2,164

Passo 7

Agora, somamos tudo:
22,014 + 8,7846 + 2,164 = 32,9626

Passo 8

Multiplicamos pela constante 0,23 times 32,9626 approx 0,0667 times 32,9626 approx 2,1975 :

Resposta

A aproximação da integral usando a Regra de Simpson com é aproximadamente .

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