Use a Regra do Trapézio com n=10 para aproximar a integral dada. Arredonde seus resultados para seis casas decimais. integral2^4 1ln x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a Regra do Trapézio com n=10 para aproximar a integral de de x = 2 até x = 4. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais definidas usando métodos numéricos. Vamos precisar entender como a Regra do Trapézio funciona e aplicar as fórmulas certinhas para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o comprimento de cada subintervalo, que a gente chama de h = b - an . A fórmula para isso é:
h = 4 - 210 = 210 = 0,2
Onde:
  • (limite inferior)
  • (limite superior)
  • (número de trapézios)
Então:
Cada trapézio vai ter uma largura de 0,2 unidades.

Passo 3

Agora, precisamos determinar todos os pontos x0 = 2.0, x1 = 2.2, x2 = 2.4, x3 = 2.6, x4 = 2.8, x5 = 3.0, x6 = 3.2, x7 = 3.4, x8 = 3.6, x9 = 3.8, x10 = 4.0 de 2 a 4, com um passo de 0,2. Isso significa que teremos 11 pontos (incluindo os extremos). Vamos listar eles:

Passo 4

Em seguida, calculamos o valor da função f(x0) = 1ln 2, f(x1) = 1ln 2.2, ldots, f(x10) = 1ln 4 em cada um desses pontos:
Fazemos essas contas para cada .

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra do Trapézio. A fórmula geral é:
Integral approx h2 [ f(x0) + 2 sumi=1^n-1 f(xi) + f(xn) ]
Substituindo os valores que já temos:
Integral approx 0,22 [ f(2.0) + 2(f(2.2) + f(2.4) + ldots + f(3.8)) + f(4.0) ]
Fazemos a soma dos valores de conforme indicado e multiplicamos pelo fator .

Resposta

A aproximação da integral usando a Regra do Trapézio com é 0,834322.

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