Use a Tabela de Integrais nas Páginas de Referência para calcular a integral. integral raiz4 x^2-4 x-3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é a . A matéria que estamos usando aqui é cálculo integral, especificamente integrais envolvendo raízes de funções quadráticas. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado na expressão dentro da raiz e depois aplicar uma substituição que facilita a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado na expressão 4x^2 - 4x - 3 = 4(x^2 - x) - 3 . Para isso, fatoramos o coeficiente de x^2 - x = (x - 12)^2 - 14 :
4(x^2 - x) - 3 = 4((x - 12)^2 - 14) - 3 = 4(x - 12)^2 - 1 - 3 = 4(x - 12)^2 - 4
Agora, completamos o quadrado para a expressão dentro dos parênteses:
integral raiz4(x - 12)^2 - 4 , dx = integral raiz4(x - 12)^2 - 4 , dx
Substituindo de volta:
Então, a integral fica:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
raiz4(x - 12)^2 - 4 = raiz4((x - 12)^2 - 1) = 2raiz(x - 12)^2 - 1
Portanto, a integral se torna:
integral 2raiz(x - 12)^2 - 1 , dx = 2 integral raiz(x - 12)^2 - 1 , dx

Passo 4

Agora, fazemos uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar:
u = x - 12 Rightarrow du = dx
Substituindo na integral:
2 integral raizu^2 - 1 , du

Passo 5

Reconhecemos que a integral integral raizu^2 - a^2 , du = u2 raizu^2 - a^2 - a^22 ln|u + raizu^2 - a^2| + C tem uma fórmula padrão. No nosso caso, 2 ( u2 raizu^2 - 1 - 12 ln|u + raizu^2 - 1| ) + C = u raizu^2 - 1 - ln|u + raizu^2 - 1| + C . A fórmula é:
Aplicando isso, temos:

Passo 6

Voltando à variável original u = x - 12 :
(x - 12) raiz(x - 12)^2 - 1 - ln|x - 12 + raiz(x - 12)^2 - 1| + C
Substituindo de volta:

Resposta

A integral (x - 12) raiz(x - 12)^2 - 1 - ln|x - 12 + raiz(x - 12)^2 - 1| + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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