Use o roteiro desta seção para esboçar a curva. f(x) = sen^2 x
(a) Domínio
(b) Intersecções com os eixos
© Simetria: função par, função ímpar, função periódica.
(d) Assíntotas: assíntotas horizontais, assíntotas verticais, assíntotas oblíquas.
(e) Intervalos de crescimento ou Decrescimento.
(f) Valores máximos e mínimos locais
(g) Concavidade e Pontos de Inflexção
(h) Esboço da curva.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a função . A gente vai analisar várias características dessa função, como domínio, intersecções com os eixos, simetria, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, valores máximos e mínimos, concavidade e pontos de inflexão, e por fim, esboçar a curva. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco de trigonometria e cálculo básico, como derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
Para , sabemos que a função seno está definida para todo número real. Se elevamos ao quadrado, não há restrições adicionais. Portanto, o domínio é:
í
(Todos os números reais)

Passo 3

Vamos achar onde a função corta os eixos e .
Intersecção com o eixo :
Isso acontece quando .
Então, a interseção com o eixo é o ponto .
Interseções com o eixo :
Ocorrem quando .
Sabemos que quando , onde é inteiro.
Então, as interseções com o eixo são os pontos para todo .

Passo 4

Vamos analisar a simetria da função.
Função Par ou Ímpar:
  • Uma função é par se .
  • É ímpar se .
Vamos verificar:
Então, é uma função par.
Função Periódica:
A função seno é periódica com período , e ao elevar ao quadrado, o período se reduz pela metade:
í

Passo 5

Vamos ver se existem assíntotas na função.
Assíntotas Horizontais:
São linhas horizontais que a função se aproxima quando tende ao infinito ou menos infinito.
Para , os valores da função estão sempre entre 0 e 1. Não há valores para os quais a função tende a se aproximar indefinidamente, então não há assíntotas horizontais.
Assíntotas Verticais e Oblíquas:
Assíntotas verticais ocorrem quando a função tende a infinito em específico, o que não acontece aqui. Assíntotas oblíquas também não existem para funções trigonométricas como essa.
Conclusão:
Não há assíntotas para .

Passo 6

Para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, vamos calcular a derivada.
Usando a regra da cadeia:
Agora, analisamos onde (crescente) e (decrescente).
Isso significa que:
  • está crescendo em intervalos como
  • está decrescendo em intervalos como
para todo .

Passo 7

Vamos encontrar os pontos onde a função atinge máximos e mínimos locais.
Sabemos que varia entre 0 e 1.
  • Máximo Local: Quando
    Isso ocorre quando , ou seja, , onde .
    Então, os pontos de máximo local são .
  • Mínimo Local: Quando
    Isso ocorre quando , ou seja, , onde .
    Então, os pontos de mínimo local são .

Passo 8

Vamos analisar a concavidade da função calculando a segunda derivada.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Concavidade:
  • Quando , a função é côncava para cima.
  • Quando , a função é côncava para baixo.
Pontos de Inflexão:
Ocorrêm quando e a concavidade muda, ou seja, quando .
Então, os pontos de inflexão são para todo .

Passo 9

Com todas as informações anteriores, podemos esboçar a curva de :
  • Período:
  • Intersecções: Passa pela origem e em cada múltiplo de .
  • Simetria: Par e periódica.
  • Crescimento/Decrescimento: Cresce de a , decresce de a , e assim por diante.
  • Máximos e Mínimos: Máximos em e mínimos em .
  • Concavidade: Alterna entre côncava para cima e para baixo a cada .
O gráfico será uma série de “ondas” que tocam o eixo em múltiplos de e alcançam o valor máximo 1 em .

Resposta

A função tem domínio em todos os números reais, intersecta os eixos nos pontos e na origem, é uma função par e periódica com período , não possui assíntotas, está crescendo em intervalos como e decrescendo em . Possui máximos locais em e mínimos locais em . A concavidade alterna entre côncava para cima e para baixo a cada , com pontos de inflexão em . O esboço da curva é uma série de ondas que tocam o eixo em múltiplos de e alcançam o valor máximo 1 em .

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