Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.
(a) Domínio
(b) Intersecções com os eixos
© Simetria: função par, função ímpar, função periódica.
(d) Assíntotas: assíntotas horizontais, assíntotas verticais, assíntotas oblíquas.
(e) Intervalos de crescimento ou Decrescimento.
(f) Valores máximos e mínimos locais
(g) Concavidade e Pontos de Inflexção
(h) Esboço da curva.
(a) Domínio
(b) Intersecções com os eixos
© Simetria: função par, função ímpar, função periódica.
(d) Assíntotas: assíntotas horizontais, assíntotas verticais, assíntotas oblíquas.
(e) Intervalos de crescimento ou Decrescimento.
(f) Valores máximos e mínimos locais
(g) Concavidade e Pontos de Inflexção
(h) Esboço da curva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a função
. A gente vai analisar várias características dessa função, como domínio, intersecções com os eixos, simetria, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, valores máximos e mínimos, concavidade e pontos de inflexão, e por fim, esboçar a curva. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco de trigonometria e cálculo básico, como derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
Para
, sabemos que a função seno está definida para todo número real. Se elevamos ao quadrado, não há restrições adicionais. Portanto, o domínio é:
(Todos os números reais)
Passo 3
Vamos achar onde a função corta os eixos
e
.
Intersecção com o eixo
:
Isso acontece quando .
Isso acontece quando
Então, a interseção com o eixo
é o ponto
.
Interseções com o eixo
:
Ocorrem quando .
Ocorrem quando
Sabemos que
quando
, onde
é inteiro.
Então, as interseções com o eixo
são os pontos
para todo
.
Passo 4
Vamos analisar a simetria da função.
Função Par ou Ímpar:
- Uma função é par se
. - É ímpar se
.
Vamos verificar:
Então,
é uma função par.
Função Periódica:
A função seno é periódica com período , e ao elevar ao quadrado, o período se reduz pela metade:
A função seno é periódica com período
Passo 5
Vamos ver se existem assíntotas na função.
Assíntotas Horizontais:
São linhas horizontais que a função se aproxima quando tende ao infinito ou menos infinito.
São linhas horizontais que a função se aproxima quando
Para
, os valores da função estão sempre entre 0 e 1. Não há valores para os quais a função tende a se aproximar indefinidamente, então não há assíntotas horizontais.
Assíntotas Verticais e Oblíquas:
Assíntotas verticais ocorrem quando a função tende a infinito em específico, o que não acontece aqui. Assíntotas oblíquas também não existem para funções trigonométricas como essa.
Assíntotas verticais ocorrem quando a função tende a infinito em
Conclusão:
Não há assíntotas para .
Não há assíntotas para
Passo 6
Para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, vamos calcular a derivada.
Usando a regra da cadeia:
Agora, analisamos onde
(crescente) e
(decrescente).
Isso significa que:
-
está crescendo em intervalos como -
está decrescendo em intervalos como
para todo
.
Passo 7
Vamos encontrar os pontos onde a função atinge máximos e mínimos locais.
Sabemos que
varia entre 0 e 1.
-
Máximo Local: Quando
Isso ocorre quando, ou seja, , onde .
Então, os pontos de máximo local são. -
Mínimo Local: Quando
Isso ocorre quando, ou seja, , onde .
Então, os pontos de mínimo local são.
Passo 8
Vamos analisar a concavidade da função calculando a segunda derivada.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Concavidade:
- Quando
, a função é côncava para cima. - Quando
, a função é côncava para baixo.
Pontos de Inflexão:
Ocorrêm quando e a concavidade muda, ou seja, quando
.
Ocorrêm quando
Então, os pontos de inflexão são
para todo
.
Passo 9
Com todas as informações anteriores, podemos esboçar a curva de
:
- Período:
- Intersecções: Passa pela origem e em cada múltiplo de
. - Simetria: Par e periódica.
- Crescimento/Decrescimento: Cresce de
a , decresce de a , e assim por diante. - Máximos e Mínimos: Máximos em
e mínimos em . - Concavidade: Alterna entre côncava para cima e para baixo a cada
.
O gráfico será uma série de “ondas” que tocam o eixo
em múltiplos de
e alcançam o valor máximo 1 em
.
Resposta
A função
tem domínio em todos os números reais, intersecta os eixos nos pontos
e na origem, é uma função par e periódica com período
, não possui assíntotas, está crescendo em intervalos como
e decrescendo em
. Possui máximos locais em
e mínimos locais em
. A concavidade alterna entre côncava para cima e para baixo a cada
, com pontos de inflexão em
. O esboço da curva é uma série de ondas que tocam o eixo
em múltiplos de
e alcançam o valor máximo 1 em
.