Use o roteiro para esboçar a curva y = 2x^2 / (x^2 - 1).
4. Assíntotas (verticais e horizontais)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a curva da função . Para isso, vamos focar nas assíntotas verticais e horizontais. As assíntotas são linhas que a curva se aproxima mas nunca toca, tanto no sentido vertical quanto horizontal. Vamos precisar identificar onde o denominador se iguala a zero para as assíntotas verticais e analisar o comportamento dos coeficientes para a assíntota horizontal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Elas ocorrem nos valores de que fazem o denominador da função igual a zero, já que nesses pontos a função não está definida e a curva “bote” ali.
Então, temos que resolver:
Portanto, as assíntotas verticais estão nas linhas e .

Passo 3

Agora, vamos identificar a assíntota horizontal. Para isso, comparamos os graus do polinômio no numerador e no denominador. Ambos são de grau 2. Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a divisão dos coeficientes que acompanham o termo de maior grau.
No numerador, o coeficiente é 2, e no denominador é 1. Assim, a assíntota horizontal é:

Passo 4

Então, resumindo o que encontramos:
  • Assíntotas Verticais: e
  • Assíntota Horizontal:
Essas linhas vão guiar o esboço da curva, mostrando para onde ela tende quando se aproxima desses valores ou vai para o infinito.

Resposta

A curva possui assíntotas verticais em e , e uma assíntota horizontal em .

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