Use o roteiro para esboçar a curva y = 2x^2 / (x^2 - 1).
5. Pontos críticos

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos trabalhar com cálculo de pontos críticos, analisar assíntotas e interceptos. Vamos precisar de noções de derivadas para encontrar onde a função tem máximos ou mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os domínios da função. Olha que a função tem no denominador , que não pode ser zero porque divisão por zero não existe. Então, resulta em e . Assim, nosso domínio é todos os números reais, exceto e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador é zero, desde que o numerador não seja zero no mesmo ponto. Já vimos que e fazem o denominador zero. Vamos checar o numerador nesses pontos:
  • Para :
  • Para :
Então, temos assíntotas verticais em e .

Passo 4

Em seguida, vamos buscar as assíntotas horizontais. Para isso, analisamos o comportamento da função quando tende ao infinito. Dividindo os coeficientes dos maiores termos:
Então, temos uma assíntota horizontal em .

Passo 5

Vamos encontrar os interceptos com os eixos. Primeiro, o intercepto com o eixo y ocorre quando :
Então, o intercepto com o eixo y é .
Para os interceptos com o eixo x, resolvemos :
Então, o único intercepto com o eixo x também é .

Passo 6

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Para isso, precisamos calcular a derivada da função e encontrar onde ela é zero ou não existe.
Primeiro, vamos derivar . Usamos a regra do quociente:
Agora, igualamos a derivada a zero:
Então, temos um ponto crítico em . Para encontrar o valor de nesse ponto:
Portanto, o ponto crítico é .

Passo 7

Vamos analisar a concavidade da função olhando a segunda derivada ou observando o comportamento da primeira derivada ao redor dos pontos críticos. Mas como temos apenas um ponto crítico e já sabemos das assíntotas e interceptos, podemos esboçar o gráfico com as informações que temos.

Resposta

O gráfico da função possui:
  • Assíntotas verticais em e
  • Assíntota horizontal em
  • Intercepto no ponto
  • Ponto crítico em
Com essas informações, o esboço da curva pode ser desenhado considerando esses elementos.

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