Use o roteiro para esboçar a curva
.
5. Pontos críticos
5. Pontos críticos
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função
. Para isso, vamos trabalhar com cálculo de pontos críticos, analisar assíntotas e interceptos. Vamos precisar de noções de derivadas para encontrar onde a função tem máximos ou mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os domínios da função. Olha que a função tem no denominador
, que não pode ser zero porque divisão por zero não existe. Então,
resulta em
e
. Assim, nosso domínio é todos os números reais, exceto
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador é zero, desde que o numerador não seja zero no mesmo ponto. Já vimos que
e
fazem o denominador zero. Vamos checar o numerador nesses pontos:
- Para
: - Para
:
Então, temos assíntotas verticais em
e
.
Passo 4
Em seguida, vamos buscar as assíntotas horizontais. Para isso, analisamos o comportamento da função quando
tende ao infinito. Dividindo os coeficientes dos maiores termos:
Então, temos uma assíntota horizontal em
.
Passo 5
Vamos encontrar os interceptos com os eixos. Primeiro, o intercepto com o eixo y ocorre quando
:
Então, o intercepto com o eixo y é
.
Para os interceptos com o eixo x, resolvemos
:
Então, o único intercepto com o eixo x também é
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Para isso, precisamos calcular a derivada da função e encontrar onde ela é zero ou não existe.
Primeiro, vamos derivar
. Usamos a regra do quociente:
Agora, igualamos a derivada a zero:
Então, temos um ponto crítico em
. Para encontrar o valor de
nesse ponto:
Portanto, o ponto crítico é
.
Passo 7
Vamos analisar a concavidade da função olhando a segunda derivada ou observando o comportamento da primeira derivada ao redor dos pontos críticos. Mas como temos apenas um ponto crítico e já sabemos das assíntotas e interceptos, podemos esboçar o gráfico com as informações que temos.
Resposta
O gráfico da função
possui:
- Assíntotas verticais em
e - Assíntota horizontal em
- Intercepto no ponto
- Ponto crítico em
Com essas informações, o esboço da curva pode ser desenhado considerando esses elementos.