Use o roteiro para esboçar a curva
.
7. Valores máximos e mínimos locais
7. Valores máximos e mínimos locais
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de esboçar a curva da função
focando nos valores máximos e mínimos locais. Aqui, estamos lidando com cálculo, especificamente com derivadas para encontrar esses pontos importantes na curva. Vamos precisar entender como as derivadas funcionam para identificar onde a função atinge seus valores máximos e mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da curva em cada ponto, e onde ela é zero, podemos ter potenciais máximos ou mínimos.
Para derivar uma função da forma
, usamos a regra do quociente:
Aqui,
e
. Vamos calcular
e
:
Agora, aplicando a regra:
Passo 3
Vamos simplificar o numerador da derivada:
Então, a derivada simplificada é:
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe), resolvemos
:
Isso acontece quando o numerador é zero:
Também devemos verificar onde a derivada não existe, mas isso ocorre quando
, ou seja,
. Esses pontos são assíntotas verticais, e não fazem parte dos máximos ou mínimos locais.
Passo 5
Agora, vamos determinar se
é um ponto de máximo ou mínimo. Para isso, usamos a segunda derivada ou analisamos o sinal da primeira derivada antes e depois do ponto crítico. Vamos optar pela segunda derivada.
Primeiro, encontramos a segunda derivada
. Derivamos
:
Usando a regra do quociente novamente:
Simplificando:
Fatorando
:
Agora, avaliamos
em
:
Como
, isso indica que a função tem um mínimo local em
.
Resposta
A função
tem um ponto mínimo local em
.
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