Use o roteiro para esboçar a curva y = 2x^2 / (x^2 - 1).
7. Valores máximos e mínimos locais

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de esboçar a curva da função focando nos valores máximos e mínimos locais. Aqui, estamos lidando com cálculo, especificamente com derivadas para encontrar esses pontos importantes na curva. Vamos precisar entender como as derivadas funcionam para identificar onde a função atinge seus valores máximos e mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da curva em cada ponto, e onde ela é zero, podemos ter potenciais máximos ou mínimos.
Para derivar uma função da forma , usamos a regra do quociente:
Aqui, e . Vamos calcular e :
Agora, aplicando a regra:

Passo 3

Vamos simplificar o numerador da derivada:
Então, a derivada simplificada é:

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe), resolvemos :
Isso acontece quando o numerador é zero:
Também devemos verificar onde a derivada não existe, mas isso ocorre quando , ou seja, . Esses pontos são assíntotas verticais, e não fazem parte dos máximos ou mínimos locais.

Passo 5

Agora, vamos determinar se é um ponto de máximo ou mínimo. Para isso, usamos a segunda derivada ou analisamos o sinal da primeira derivada antes e depois do ponto crítico. Vamos optar pela segunda derivada.
Primeiro, encontramos a segunda derivada . Derivamos :
Usando a regra do quociente novamente:
Simplificando:
Fatorando :
Agora, avaliamos em :
Como , isso indica que a função tem um mínimo local em .

Resposta

A função tem um ponto mínimo local em .

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