Use o roteiro para esboçar a curva y = 2x^2 / (x^2 - 1).
6. Intervalos de crescimento ou decrescimento

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos focar em identificar os intervalos onde a função está crescendo (subindo) ou decrescendo (descendo). Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para descobrir essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos calcular a derivada da função em relação a . A derivada nos dá a inclinação da curva em cada ponto. Se a derivada for positiva, a função está crescendo; se for negativa, está decrescendo.

Passo 3

Vamos encontrar a derivada de . Para isso, usamos a regra do quociente, que é:
Aqui, e .

Passo 4

Calculando e :

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:

Passo 6

Agora, temos a derivada . Vamos analisar onde essa derivada é positiva ou negativa.

Passo 7

O denominador sempre é positivo, exceto quando , ou seja, , onde a função não está definida (assíntotas verticais).

Passo 8

Portanto, o sinal da derivada depende apenas do numerador, que é :
  • Se , ou seja, , a derivada é positiva e a função está crescendo.
  • Se , ou seja, , a derivada é negativa e a função está decrescendo.

Passo 9

Resumindo:
  • Para , : a função está crescendo.
  • Para , : a função está decrescendo.
  • Em , a derivada é zero, indicando um ponto crítico.

Passo 10

Além disso, temos que a função não está definida em , onde há assíntotas verticais. Também podemos analisar o comportamento para tendendo a , mas isso vai além do foco atual.

Resposta

A função está crescendo no intervalo e decrescendo no intervalo .

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