Use o roteiro para esboçar a curva
.
6. Intervalos de crescimento ou decrescimento
6. Intervalos de crescimento ou decrescimento
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos esboçar o gráfico da função
. Para isso, vamos focar em identificar os intervalos onde a função está crescendo (subindo) ou decrescendo (descendo). Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para descobrir essas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos calcular a derivada da função
em relação a
. A derivada nos dá a inclinação da curva em cada ponto. Se a derivada for positiva, a função está crescendo; se for negativa, está decrescendo.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada de
. Para isso, usamos a regra do quociente, que é:
Aqui,
e
.
Passo 4
Calculando
e
:
Passo 5
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Passo 6
Agora, temos a derivada
. Vamos analisar onde essa derivada é positiva ou negativa.
Passo 7
O denominador
sempre é positivo, exceto quando
, ou seja,
, onde a função não está definida (assíntotas verticais).
Passo 8
Portanto, o sinal da derivada depende apenas do numerador, que é
:
- Se
, ou seja, , a derivada é positiva e a função está crescendo. - Se
, ou seja, , a derivada é negativa e a função está decrescendo.
Passo 9
Resumindo:
- Para
, : a função está crescendo. - Para
, : a função está decrescendo. - Em
, a derivada é zero, indicando um ponto crítico.
Passo 10
Além disso, temos que a função não está definida em
, onde há assíntotas verticais. Também podemos analisar o comportamento para
tendendo a
, mas isso vai além do foco atual.
Resposta
A função
está crescendo no intervalo
e decrescendo no intervalo
.