Use o roteiro para esboçar a curva y = 2x^2 / (x^2 - 1).
3. Simetria (se a função é par ou ímpar)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente esboçar a curva da função . O conteúdo aqui envolve principalmente o estudo de funções racionais e suas propriedades, como domínio, interceptos, assíntotas e simetria. Para resolver, vamos precisar analisar cada uma dessas características passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando a expressão , percebemos que o denominador não pode ser zero, pois divisão por zero não é permitida. Então, vamos encontrar os valores de que deixam o denominador zero:
Portanto, o domínio é todos os números reais, exceto e :
í

Passo 3

Agora, vamos verificar a simetria da função para ver se ela é par, ímpar ou nenhuma das duas. Isso nos ajuda a entender o comportamento da curva em relação ao eixo e à origem.
  • Função Par: Se para todo no domínio.
  • Função Ímpar: Se para todo no domínio.
Vamos calcular :
Como , a função é par.

Passo 4

Vamos encontrar os interceptos da função, ou seja, onde a curva corta os eixos e .
  • Intercepto com o eixo : É encontrado quando .
Então, o intercepto com o eixo é o ponto .
  • Interceptos com o eixo : São encontrados quando .
Portanto, o único intercepto é no ponto .

Passo 5

Vamos determinar as assíntotas, que são linhas que a curva se aproxima mas nunca toca.
  • Assíntotas Verticais: Ocorrem onde o denominador é zero, mas o numerador não é zero.
Como já vimos, e tornam o denominador zero. Vamos verificar o numerador nesses pontos:
Portanto, temos duas assíntotas verticais:
  • Assíntota Horizontal: Analisamos o comportamento da função quando tende ao infinito.
Então, a assíntota horizontal é:

Passo 6

Finalmente, vamos esboçar a curva com base nas informações obtidas:
  • A função é par, então a curva é simétrica em relação ao eixo .
  • Tem intercepto na origem .
  • Possui assíntotas verticais em e .
  • Possui uma assíntota horizontal em .
  • Ao analisar os sinais nos intervalos determinados pelas assíntotas verticais, podemos traçar como a curva se comporta em cada região.

Resposta

A função é par, ou seja, simétrica em relação ao eixo .

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