Use o roteiro para esboçar a curva
.
3. Simetria (se a função é par ou ímpar)
3. Simetria (se a função é par ou ímpar)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente esboçar a curva da função
. O conteúdo aqui envolve principalmente o estudo de funções racionais e suas propriedades, como domínio, interceptos, assíntotas e simetria. Para resolver, vamos precisar analisar cada uma dessas características passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida. Olhando a expressão
, percebemos que o denominador não pode ser zero, pois divisão por zero não é permitida. Então, vamos encontrar os valores de
que deixam o denominador zero:
Portanto, o domínio é todos os números reais, exceto
e
:
Passo 3
Agora, vamos verificar a simetria da função para ver se ela é par, ímpar ou nenhuma das duas. Isso nos ajuda a entender o comportamento da curva em relação ao eixo
e à origem.
- Função Par: Se
para todo no domínio. - Função Ímpar: Se
para todo no domínio.
Vamos calcular
:
Como
, a função é par.
Passo 4
Vamos encontrar os interceptos da função, ou seja, onde a curva corta os eixos
e
.
- Intercepto com o eixo
: É encontrado quando .
Então, o intercepto com o eixo
é o ponto
.
- Interceptos com o eixo
: São encontrados quando .
Portanto, o único intercepto é no ponto
.
Passo 5
Vamos determinar as assíntotas, que são linhas que a curva se aproxima mas nunca toca.
- Assíntotas Verticais: Ocorrem onde o denominador é zero, mas o numerador não é zero.
Como já vimos,
e
tornam o denominador zero. Vamos verificar o numerador nesses pontos:
Portanto, temos duas assíntotas verticais:
- Assíntota Horizontal: Analisamos o comportamento da função quando
tende ao infinito.
Então, a assíntota horizontal é:
Passo 6
Finalmente, vamos esboçar a curva com base nas informações obtidas:
- A função é par, então a curva é simétrica em relação ao eixo
. - Tem intercepto na origem
. - Possui assíntotas verticais em
e . - Possui uma assíntota horizontal em
. - Ao analisar os sinais nos intervalos determinados pelas assíntotas verticais, podemos traçar como a curva se comporta em cada região.
Resposta
A função
é par, ou seja, simétrica em relação ao eixo
.