Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.
32.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos expandir a função usando a série binomial e determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar a fórmula da série binomial e alguns conceitos de séries de potência.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação da série binomial. Sabemos que é igual a . Queremos expressar essa função como uma série de potências centrada em um ponto conveniente, como .

Passo 3

A fórmula da série binomial é:
onde é o coeficiente binomial generalizado. Nesse caso, e queremos adaptar a nossa função para essa forma.

Passo 4

Vamos definir . Assim, a função fica:
Para aplicar a série binomial, precisamos que a expressão esteja na forma . Podemos ajustar isso reescrevendo a função como:
No entanto, isso complica a expansão. Uma abordagem mais simples é considerar a expansão diretamente em termos de .

Passo 5

Vamos expandir usando a série binomial:
Aqui, calculamos os coeficientes binomiais para cada termo da série.

Passo 6

Substituindo na série, temos:
Essa é a expansão em série de potência da função .

Passo 7

Agora, vamos determinar o raio de convergência da série. Para a série binomial, a série converge quando . Como , isso significa que a série converge quando:
Portanto, o raio de convergência é .

Resposta

A expansão da função usando a série binomial é:
O raio de convergência dessa série é .

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(Use .
A) 120000
B) 72000
C) 64000
D) 48000
E) 12000