Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.
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Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos expandir a função
usando a série binomial e determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar a fórmula da série binomial e alguns conceitos de séries de potência.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação da série binomial. Sabemos que
é igual a
. Queremos expressar essa função como uma série de potências centrada em um ponto conveniente, como
.
Passo 3
A fórmula da série binomial é:
onde
é o coeficiente binomial generalizado. Nesse caso,
e queremos adaptar a nossa função para essa forma.
Passo 4
Vamos definir
. Assim, a função fica:
Para aplicar a série binomial, precisamos que a expressão esteja na forma
. Podemos ajustar isso reescrevendo a função como:
No entanto, isso complica a expansão. Uma abordagem mais simples é considerar a expansão diretamente em termos de
.
Passo 5
Vamos expandir
usando a série binomial:
Aqui, calculamos os coeficientes binomiais para cada termo da série.
Passo 6
Substituindo
na série, temos:
Essa é a expansão em série de potência da função
.
Passo 7
Agora, vamos determinar o raio de convergência da série. Para a série binomial, a série converge quando
. Como
, isso significa que a série converge quando:
Portanto, o raio de convergência é
.
Resposta
A expansão da função
usando a série binomial é:
O raio de convergência dessa série é
.