Use uma simplificação algébrica para achar o limite, caso ele exista. Se ele não existir, justifique.
(e) lim x -2 x-4x^2-2 x-8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x -2 x-4x^2-2 x-8. Esse tipo de problema usa álgebra para simplificar a expressão e encontrar o valor do limite. Vamos precisar fatorar o denominador e simplificar a fração para achar o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que acontece se substituirmos x = -2 diretamente na expressão:
-2 - 4(-2)^2 - 2(-2) - 8 = -64 + 4 - 8 = -60
Aqui, o denominador dá zero, o que indica que precisamos simplificar a expressão para ver se conseguimos resolver o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o denominador x^2 - 2x - 8. Procuramos dois números que multiplicados dão -8 e somados dão -2. Esses números são -4 e 2. Então, podemos escrever:
x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2)

Passo 4

Agora, substituímos o denominador fatorado na expressão original:
x - 4(x - 4)(x + 2)
Perceba que o termo (x - 4) aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos simplificar:
cancelx - 4cancel(x - 4)(x + 2) = 1x + 2

Passo 5

Agora que simplificamos, podemos calcular o limite substituindo x = -2 na expressão simplificada:
lim x -2 1x + 2 = 1-2 + 2 = 10
Isso sugere que o limite tende para infinito ou menos infinito. Para determinar qual, analisamos o comportamento de x se aproximando de -2 pela esquerda e pela direita.

Passo 6

Se x se aproxima de -2 pela esquerda ( x to -2^-), x + 2 é ligeiramente negativo, então 1x + 2 tende para -infty.
Se x se aproxima de -2 pela direita ( x to -2^+), x + 2 é ligeiramente positivo, então 1x + 2 tende para +infty.

Resposta

O limite não existe porque tende a -infty pela esquerda e +infty pela direita.

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