Use uma simplificação algébrica para achar o limite, caso ele exista. Se ele não existir, justifique.
(o) lim x 0(1x raiz1+x-1x)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite quando limx 0(1x raiz1+x - 1x) se aproxima de 0 da expressão:
Para resolver isso, vamos usar simplificação algébrica, que é uma técnica para reescrever a expressão de uma forma mais fácil de lidar, especialmente para calcular limites. Vamos precisar manipular frações e talvez usar algumas identidades matemáticas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Observamos que temos duas frações com o mesmo denominador 1x raiz1+x - 1x = 1 - raiz1+xx raiz1+x . Vamos reescrever a expressão combinando essas frações:
Agora temos uma única fração, o que facilita a análise do limite.

Passo 3

Perceba que, ao substituir 1 - raiz1+xx raiz1+x times 1 + raiz1+x1 + raiz1+x = (1 - raiz1+x)(1 + raiz1+x)x raiz1+x (1 + raiz1+x) diretamente na expressão , obteríamos uma forma indeterminada , que não nos dá uma resposta imediata. Para resolver isso, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador, que é .

Passo 4

Agora, vamos multiplicar os termos no numerador usando a identidade (1 - raiz1+x)(1 + raiz1+x) = 1^2 - (raiz1+x)^2 = 1 - (1 + x) = -x :
-xx raiz1+x (1 + raiz1+x)
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, podemos simplificar a fração cancelando o termo -xx raiz1+x (1 + raiz1+x) = -1raiz1+x (1 + raiz1+x) no numerador e no denominador:

Passo 6

Agora, a expressão está simplificada e não apresenta mais a forma indeterminada limx 0 -1raiz1+x (1 + raiz1+x) = -1raiz1+0 (1 + raiz1+0) = -11 times (1 + 1) = -12 . Podemos calcular o limite substituindo :

Resposta

O limite é .

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