Use os teoremas sobre limites para determiná-los, quando eles existirem.
(f) lim x 2 x^2-x-2(x-2)^2

Passo 1

Vamos entender o que precisamos fazer. Queremos encontrar o limite quando se aproxima de 2 para a função . Para isso, vamos usar os teoremas sobre limites e algumas técnicas de álgebra para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, tentamos substituir diretamente (2)^2 - 2 - 2(2-2)^2 = 4 - 2 - 20 = 00 na expressão para ver se conseguimos calcular o limite:
Obtivemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para continuar.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) . Para isso, procuramos dois números que multiplicados dão -2 e somados dão -1. Esses números são -2 e 1. Assim, fatoramos da seguinte maneira:

Passo 4

Substituímos o numerador fatorado na expressão original:
(x - 2)(x + 1)(x - 2)^2 = x + 1x - 2
Agora, cancelamos um dos termos do numerador com o denominador, simplificando a expressão.

Passo 5

Com a expressão simplificada 2 + 12 - 2 = 30 , calculamos o limite substituindo :
Quando dividimos um número diferente de zero por zero, o resultado tende ao infinito. Para determinar se é ou , observamos o comportamento dos lados. À medida que se aproxima de 2, o denominador se aproxima de 0 a partir dos valores positivos, então o limite tende a .

Resposta

O limite quando lim x 2 x^2-x-2(x-2)^2 = +infty se aproxima de 2 é infinito positivo, ou seja:

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