Use os teoremas sobre limites para determiná-los, quando eles existirem.
(e) lim x 1 / 2 2 x^2+5 x-36 x^2-7 x+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui, estamos trabalhando com limites de funções racionais, e para resolver vamos precisar usar o teorema do limite da razão de polinômios. Vamos ver se conseguimos simplificar essa expressão para encontrar o valor do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 2(12)^2 + 5(12) - 3 = 2(14) + 52 - 3 = 12 + 52 - 3 = 0 diretamente na função para ver se conseguimos calcular o limite facilmente.
Para o numerador:
6(12)^2 - 7(12) + 2 = 6(14) - 72 + 2 = 32 - 72 + 2 = 0
Para o denominador:
Obtemos , que é uma indeterminação. Isso significa que precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Quando encontramos a forma indeterminada 2x^2 + 6x - x - 3 = 2x(x + 3) -1(x + 3) = (2x - 1)(x + 3) , uma estratégia é fatorar tanto o numerador quanto o denominador e ver se conseguimos cancelar termos comuns.
Vamos fatorar o numerador 6x^2 - 4x - 3x + 2 = 2x(3x - 2) -1(3x - 2) = (3x - 2)(2x - 1) :
Procuramos dois números que multiplicados dão e que somados dão . Esses números são e .
Então:
Agora, vamos fatorar o denominador :
Procuramos dois números que multiplicados dão e que somados dão . Esses números são e .
Então:

Passo 4

Agora que fatoramos ambos, o numerador e o denominador, vamos substituir na expressão original:
2x^2+5x-36x^2-7x+2 = (2x - 1)(x + 3)(3x - 2)(2x - 1)
Notamos que temos o termo (2x - 1)cancel(x + 3)(3x - 2)cancel(2x - 1) = x + 33x - 2 tanto no numerador quanto no denominador. Podemos cancelar esse termo:

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo lim x 12 x + 33x - 2 = 12 + 33(12) - 2 = 7232 - 2 = 72-12 = -7 :

Resposta

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