Use uma simplificação algébrica para achar o limite, caso ele exista. Se ele não existir, justifique.
(a) lim x 3 2 x^3-6 x^2+x-3x-3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando se aproxima de 3 para a função . Isso envolve conceitos de limites e simplificação algébrica. Pra resolver, vamos precisar simplificar essa fração, provavelmente fatorando o numerador para cancelar o denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão. Observando o numerador , vamos ver se conseguimos fatorar. Uma técnica útil é a divisão polinomial ou o teorema do resto para encontrar se é um fator.

Passo 3

Aplicando o teorema do resto, substituímos 2(3)^3 - 6(3)^2 + 3 - 3 = 2(27) - 6(9) + 3 - 3 = 54 - 54 + 0 = 0 no numerador:
2x^3 - 6x^2 + x - 3 = (x - 3)(Ax^2 + Bx + C)
Como o resto é 0, isso confirma que é um fator do numerador. Então, podemos escrever:

Passo 4

Vamos encontrar os coeficientes (x - 3)(Ax^2 + Bx + C) = Ax^3 + Bx^2 + Cx - 3Ax^2 - 3Bx - 3C , Ax^3 + (B - 3A)x^2 + (C - 3B)x - 3C e A = 2 B - 3A = -6 C - 3B = 1 -3C = -3 . Expandindo a multiplicação:
A = 2 B - 6 = -6 Rightarrow B = 0 C - 0 = 1 Rightarrow C = 1 -3(1) = -3
Agrupando os termos semelhantes:
Igualando aos termos do numerador original :
Resolvendo:
Então, o fator é .

Passo 5

Agora, substituímos de volta na expressão original:
2x^3 - 6x^2 + x - 3x - 3 = (x - 3)(2x^2 + 1)x - 3
Cancelando o 2x^2 + 1 (já que próximo ao limite):

Passo 6

Agora, podemos calcular o limite substituindo limx 3 (2x^2 + 1) = 2(3)^2 + 1 = 2(9) + 1 = 18 + 1 = 19 :

Resposta

O limite é 19.

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