Use uma simplificação algébrica para achar o limite, caso ele exista. Se ele não existir, justifique.
(b) lim x 1 x^2-x2 x^2+5 x-7

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente no estudo de limites. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão algébrica para ver se conseguimos encontrar o valor do limite quando se aproxima de 1.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente 1^2 - 12 cdot 1^2 + 5 cdot 1 - 7 = 1 - 12 + 5 - 7 = 00 na expressão para ver se obtemos um valor definido ou uma forma indeterminada.
Substituindo:
Vimos que obtemos a forma , que é indeterminada. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos simplificar o numerador e o denominador fatorando-os.
Numerador:
x^2 - x = x(x - 1)
Denominador:
2x^2 + 5x - 7
Para fatorar o denominador, precisamos encontrar dois números que multiplicados dão 2x^2 + 5x - 7 = 2x^2 + 7x - 2x - 7 = (2x^2 + 7x) + (-2x - 7) = x(2x + 7) -1(2x + 7) = (x - 1)(2x + 7) e somados dão 5. Esses números são 7 e -2.
Então:

Passo 4

Agora que fatoramos o numerador e o denominador, podemos reescrever a expressão do limite:
x(x - 1)(x - 1)(2x + 7)
Observamos que o termo x2x + 7 aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelar esse termo (desde que , o que é válido para o limite):

Passo 5

Agora, vamos recalcular o limite com a expressão simplificada:
lim x 1 x2x + 7 = 12 cdot 1 + 7 = 19

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados