Use uma simplificação algébrica para achar o limite, caso ele exista. Se ele não existir, justifique.
(h)

Passo 1

Vamos lá! A gente precisa encontrar o limite de quando se aproxima de 2. Esse exercício faz parte da matéria de Cálculo, especificamente de limites. Para resolver isso, vamos usar simplificação algébrica.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente na expressão para ver o que acontece:
Aqui, estamos dividindo por zero, o que não é definido. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para conseguir calcular o limite.

Passo 3

Vamos simplificar o numerador . Uma forma de tentar simplificar é fatorando o polinômio. No entanto, para fatorar um polinômio do segundo grau como esse, procuramos dois números que multiplicados dão 6 e somados dão -1.
Mas os números que multiplicam 6 e somam -1 não existem no conjunto dos números reais. Portanto, não conseguimos fatorar de forma simples.

Passo 4

Como não conseguimos simplificar a expressão, vamos analisar o comportamento da função próximo a .
  • Se se aproxima de 2 pela direita (valores maiores que 2), o denominador fica positivo e muito pequeno, enquanto o numerador se aproxima de 8. Então, a fração tende a .
  • Se se aproxima de 2 pela esquerda (valores menores que 2), o denominador fica negativo e muito pequeno, e o numerador ainda se aproxima de 8. Nesse caso, a fração tende a .
Como os limites pela direita e pela esquerda são diferentes (um vai para e o outro para ), podemos concluir que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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