Use uma simplificação algébrica para achar o limite, caso ele exista. Se ele não existir, justifique.
(h) lim x 2 x^2-x+6x-2

Passo 1

Vamos lá! A gente precisa encontrar o limite de x^2-x+6x-2 quando x se aproxima de 2. Esse exercício faz parte da matéria de Cálculo, especificamente de limites. Para resolver isso, vamos usar simplificação algébrica.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = 2 diretamente na expressão para ver o que acontece:
2^2 - 2 + 62 - 2 = 4 - 2 + 60 = 80
Aqui, estamos dividindo por zero, o que não é definido. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para conseguir calcular o limite.

Passo 3

Vamos simplificar o numerador x^2 - x + 6. Uma forma de tentar simplificar é fatorando o polinômio. No entanto, para fatorar um polinômio do segundo grau como esse, procuramos dois números que multiplicados dão 6 e somados dão -1.
Mas os números que multiplicam 6 e somam -1 não existem no conjunto dos números reais. Portanto, não conseguimos fatorar x^2 - x + 6 de forma simples.

Passo 4

Como não conseguimos simplificar a expressão, vamos analisar o comportamento da função próximo a x = 2.
  • Se x se aproxima de 2 pela direita (valores maiores que 2), o denominador (x - 2) fica positivo e muito pequeno, enquanto o numerador se aproxima de 8. Então, a fração tende a +infty.
  • Se x se aproxima de 2 pela esquerda (valores menores que 2), o denominador (x - 2) fica negativo e muito pequeno, e o numerador ainda se aproxima de 8. Nesse caso, a fração tende a -infty.
Como os limites pela direita e pela esquerda são diferentes (um vai para +infty e o outro para -infty), podemos concluir que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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