Use uma simplificação algébrica para achar o limite, caso ele exista. Se ele não existir, justifique.
© lim x 4 x^2-16raizx-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que é o seguinte: . Aqui, estamos lidando com limites e simplificação algébrica. Para resolver, a gente vai precisar entender como simplificar a expressão para conseguir calcular o limite quando se aproxima de 4.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 4^2 - 16raiz4 - 2 = 16 - 162 - 2 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
O resultado foi uma forma indeterminada ( ), o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos simplificar o numerador x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) . Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte forma:
(x - 4)(x + 4)raizx - 2
Então a expressão fica:

Passo 4

Agora, temos ainda o denominador (x - 4)(x + 4)raizx - 2 times raizx + 2raizx + 2 = (x - 4)(x + 4)(raizx + 2)(raizx)^2 - 2^2 . Para eliminar a raiz, vamos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador pela forma conjugada do denominador, que é :

Passo 5

No denominador, aplicamos a diferença de quadrados:
(raizx)^2 - 2^2 = x - 4
Então a expressão fica:
(x - 4)(x + 4)(raizx + 2)x - 4

Passo 6

Agora, podemos simplificar cancelando o termo cancel(x - 4)(x + 4)(raizx + 2)cancelx - 4 = (x + 4)(raizx + 2) que está no numerador e no denominador:

Passo 7

Com a expressão simplificada, podemos agora calcular o limite substituindo (4 + 4)(raiz4 + 2) = 8 times (2 + 2) = 8 times 4 = 32 :

Resposta

O limite é igual a 32.

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