Use uma simplificação algébrica para achar o limite, se existe: 16 lim r -3 r^2+2 r-3r^2+7 r+12

Passo 1

Beleza, temos um exercício de cálculo que quer encontrar o limite de uma função quando se aproxima de -3. Para isso, vamos usar simplificação algébrica, ou seja, vamos manipular a expressão para facilitar a resolução. Vamos precisar saber fatorar polinômios!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro do limite: . Nosso objetivo é simplificar essa fração fatorando o numerador e o denominador.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador r^2 + 2r - 3 = (r + 3)(r - 1) . Procuramos dois números que multiplicados dão -3 e somados dão +2. Esses números são +3 e -1. Então:
r^2 + 7r + 12 = (r + 3)(r + 4)
Agora, vamos fatorar o denominador . Procuramos dois números que multiplicados dão +12 e somados dão +7. Esses números são +3 e +4. Então:

Passo 4

Substituímos as fatorações na expressão original:
16 lim r -3 (r + 3)(r - 1)(r + 3)(r + 4)
Perceba que o termo 16 lim r -3 r - 1r + 4 aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelar ele (desde que , o que é válido para limites):

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo -3 - 1-3 + 4 = -41 = -4 por -3:
16 times (-4) = -64
Finalmente, multiplicamos esse resultado por 16:

Resposta

O limite é igual a .

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