Use a substituição indicada para calcular as integrais abaixo.
integral xraizx+1 d x, u=raizx+1

Passo 1

Vamos resolver a integral usando o método de substituição. Esse tipo de integral faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo substituição como técnica de integração. Para isso, vamos utilizar a substituição .

Passo 2

Primeiro, definimos nossa substituição:
u = raizx + 1
Isso significa que:
u^2 = x + 1
Agora, vamos resolver para x = u^2 - 1 :

Passo 3

Em seguida, precisamos encontrar a diferencial dxdu = 2u em termos de dx = 2u , du . Derivando ambos os lados de em relação a :
Portanto:

Passo 4

Agora, substituímos integral xraizx+1 , dx = integral u^2 - 1u cdot 2u , du e u^2 - 1u cdot 2u = 2(u^2 - 1) na integral original:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 5

Agora, a integral fica mais simples:
integral 2(u^2 - 1) , du
Distribuindo o 2:
2 integral (u^2 - 1) , du

Passo 6

Integrando termo a termo:
2 ( integral u^2 , du - integral 1 , du )
Calculando as integrais:
2 ( u^33 - u )

Passo 7

Simplificando a expressão obtida:
2u^33 - 2u

Passo 8

Agora, voltamos à variável original 2(raizx+1)^33 - 2raizx+1 substituindo 2(x+1)^3/23 - 2(x+1)^1/2 :
Simplificando:

Resposta

A integral 23(x+1)^3/2 - 2(x+1)^1/2 + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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