Use a substituição indicada para calcular as integrais abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral
usando a substituição
. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição indicada:
. Isso significa que precisamos expressar
em termos de
.
Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na integral original:
Simplificando os termos:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Substituindo de volta na integral:
Passo 5
Agora, temos uma integral mais simples:
. Para resolver isso, reconhecemos que é uma forma de integral que envolve funções inversas trigonométricas. Vamos usar a substituição trigonométrica:
Seja
, mas isso complicaria mais. Em vez disso, vamos lembrar que:
Comparando, temos
, então
.
Passo 6
Aplicando a fórmula:
Passo 7
Agora, voltamos à substituição original
, o que implica que
. Substituindo de volta:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.
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Calcule em cada item a derivada de ordem superior indicada.
Determine a derivada das funções dada.
Use a substituição indicada para calcular as integrais abaixo.
Use uma substituição mais adequada para calcular as integrais abaixo: