Use a substituição indicada para calcular as integrais abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral usando a substituição . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição indicada: . Isso significa que precisamos expressar em termos de .
Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 3

Agora, vamos substituir e na integral original:
Simplificando os termos:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Substituindo de volta na integral:

Passo 5

Agora, temos uma integral mais simples: . Para resolver isso, reconhecemos que é uma forma de integral que envolve funções inversas trigonométricas. Vamos usar a substituição trigonométrica:
Seja , mas isso complicaria mais. Em vez disso, vamos lembrar que:
Comparando, temos , então .

Passo 6

Aplicando a fórmula:

Passo 7

Agora, voltamos à substituição original , o que implica que . Substituindo de volta:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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Calcule em cada item a derivada de ordem superior indicada.
Determine a derivada das funções dada.
Use a substituição indicada para calcular as integrais abaixo.
Use uma substituição mais adequada para calcular as integrais abaixo: