Use a substituição indicada para calcular as integrais abaixo.
integral 1x raizx^2-2 d x, x=(1 / u)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral usando a substituição . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição indicada: dx = -1u^2 du . Isso significa que precisamos expressar em termos de .
Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 3

Agora, vamos substituir integral 1x raizx^2-2 , dx = integral 11u raiz(1u)^2 - 2 (-1u^2 du) e = -integral uraiz1u^2 - 2 cdot 1u^2 du = -integral 1u raiz1 - 2u^2u^2 du na integral original:
Simplificando os termos:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
raiz1 - 2u^2u^2 = raiz1 - 2u^2u
Substituindo de volta na integral:
- integral 1u cdot uraiz1 - 2u^2 du = -integral 1raiz1 - 2u^2 du

Passo 5

Agora, temos uma integral mais simples: integral 1raiza^2 - u^2 du = arcsin(ua) + C . Para resolver isso, reconhecemos que é uma forma de integral que envolve funções inversas trigonométricas. Vamos usar a substituição trigonométrica:
Seja , mas isso complicaria mais. Em vez disso, vamos lembrar que:
Comparando, temos , então .

Passo 6

Aplicando a fórmula:
- integral 1raiz1 - 2u^2 du = - arcsin(u1raiz2) + C = - arcsin(u raiz2) + C

Passo 7

Agora, voltamos à substituição original - arcsin(raiz2x) + C , o que implica que . Substituindo de volta:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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