Use substituição para calcular cada integral indefinida abaixo.
integral sec ^2(5 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando substituição. Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente a técnica de substituição. Para isso, vamos precisar identificar uma função dentro da integral que podemos substituir por uma variável mais simples, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Observando a função dentro da integral, temos u = 5x dentro do . Então, vamos definir:
Essa substituição vai simplificar a expressão dentro da integral.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de dudx = 5 em relação a du = 5 , dx , ou seja, dx = du5 :
Isso significa que:
Para isolar , dividimos ambos os lados por 5:

Passo 4

Vamos substituir integral sec^2(5x) , dx = integral sec^2(u) cdot du5 por 15 integral sec^2(u) , du e por na integral original:
Podemos fatorar o para fora da integral:

Passo 5

Sabemos que a integral de integral sec^2(u) , du = tan(u) + C em relação a 15 tan(u) + C é mais a constante de integração :
Então, substituindo de volta:

Passo 6

Finalmente, lembrando que 15 tan(5x) + C , substituímos de volta para expressar a resposta em termos de :

Resposta

A integral 15 tan(5x) + C é igual a:

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