Use substituição para calcular cada integral indefinida abaixo.
integral sec (4 x) cdot tg(4 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral indefinida
integral sec(4x) cdot tg(4x) , dx
usando o método de substituição. Para isso, vamos utilizar conhecimentos de cálculo sobre integrais e derivadas de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma parte da expressão para substituir por uma variável mais simples. Aqui, uma boa escolha é definir
u = sec(4x)
Isso porque a derivada de sec(4x) envolve a função sec(4x) cdot tg(4x), que já está presente na nossa integral.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x:
dudx = 4 sec(4x) cdot tg(4x)
Isso significa que
du = 4 sec(4x) cdot tg(4x) , dx

Passo 4

Queremos expressar sec(4x) cdot tg(4x) , dx em termos de du. Assim, isolamos essa expressão na equação anterior:
sec(4x) cdot tg(4x) , dx = du4
Substituindo na integral original, temos:
integral sec(4x) cdot tg(4x) , dx = integral du4 = 14 integral du

Passo 5

A integral de du é simplesmente u, então:
14 integral du = 14 u + C
Agora, substituímos u de volta pela expressão original:
14 sec(4x) + C

Resposta

A integral indefinida é
14 sec(4x) + C

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