Use a técnica de mudança de variável para calcular as integrais: integral-12^12 2 x1-x^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral definida: . O assunto que vamos usar para resolver isso é integração por mudança de variável, também conhecida como substituição. Para isso, a gente vai precisar identificar uma parte da expressão que podemos transformar para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Olhando para a fração u = 1 - x^2 , percebemos que o numerador é parecido com a derivada do denominador . Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos calcular a diferencial du = ddx(1 - x^2) , dx = -2x , dx em termos de - du = 2x , dx :
Isso nos dá:

Passo 4

Com essa substituição, nossa integral original fica mais simples. Vamos substituir integral-12^12 2x1 - x^2 , dx = integral -duu por e por :

Passo 5

Agora, a integral ficou integral -duu = -ln|u| + C , que é uma forma básica que conhecemos. A antiderivada de é , então:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Mas precisamos voltar para a variável original - ln|1 - x^2| + C , lembrando que [ - ln(1 - (12)^2) ] - [ - ln(1 - (-12)^2) ] :
Agora, aplicando os limites de a :

Resposta

Ao calcular tudo, percebemos que as duas expressões se cancelam, resultando em:
0
Então, a integral vale zero.

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