Utilize as diversas técnicas vistas em sala para calcular as integrais a seguir:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de
em relação a
. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é uma maneira eficaz de integrar o produto de duas funções.
Passo 2
A integração por partes baseia-se na fórmula:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
. Vamos definir:
Passo 3
Agora, vamos encontrar
e
.
Para
, derivamos
em relação a
:
Para
, integramos
:
Passo 4
Substituindo
,
,
e
na fórmula da integração por partes:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a integral restante:
Podemos simplificar a fração dividindo o numerador e o denominador:
Então, a integral fica:
Passo 6
Calculando cada parte:
-
Integração de 1 em relação a
: -
Integração de
:
Portanto:
Passo 7
Voltando à expressão inicial com a integração por partes:
Resposta
A integral de
em relação a
é:
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