Utilize as diversas técnicas vistas em sala para calcular as integrais a seguir: integral ln (3 x+2) d x.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de ln(3x + 2) em relação a x. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é uma maneira eficaz de integrar o produto de duas funções.

Passo 2

A integração por partes baseia-se na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u e dv. Vamos definir:
u = ln(3x + 2) dv = dx

Passo 3

Agora, vamos encontrar du e v.
Para du, derivamos u em relação a x:
du = ddx ln(3x + 2) , dx = 33x + 2 , dx
Para v, integramos dv:
v = integral dx = x

Passo 4

Substituindo u, v, du e dv na fórmula da integração por partes:
integral ln(3x + 2) , dx = uv - integral v , du = x ln(3x + 2) - integral x cdot 33x + 2 , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral restante:
integral 3x3x + 2 , dx
Podemos simplificar a fração dividindo o numerador e o denominador:
3x3x + 2 = 1 - 23x + 2
Então, a integral fica:
integral (1 - 23x + 2) dx = integral 1 , dx - 2 integral 13x + 2 , dx

Passo 6

Calculando cada parte:
  1. Integração de 1 em relação a x:
    integral 1 , dx = x
  2. Integração de 13x + 2:
    integral 13x + 2 , dx = 13 ln|3x + 2| + C
Portanto:
integral 3x3x + 2 , dx = x - 23 ln|3x + 2| + C

Passo 7

Voltando à expressão inicial com a integração por partes:
integral ln(3x + 2) , dx = x ln(3x + 2) - (x - 23 ln(3x + 2)) + C = (x + 23) ln(3x + 2) - x + C

Resposta

A integral de ln(3x + 2) em relação a x é:
(x + 23) ln(3x + 2) - x + C

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