Utilize as diversas técnicas vistas em sala para calcular as integrais a seguir: .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de em relação a . Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é uma maneira eficaz de integrar o produto de duas funções.

Passo 2

A integração por partes baseia-se na fórmula:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos encontrar e .
Para , derivamos em relação a :
Para , integramos :

Passo 4

Substituindo , , e na fórmula da integração por partes:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral restante:
Podemos simplificar a fração dividindo o numerador e o denominador:
Então, a integral fica:

Passo 6

Calculando cada parte:
  1. Integração de 1 em relação a :
  2. Integração de :
Portanto:

Passo 7

Voltando à expressão inicial com a integração por partes:

Resposta

A integral de em relação a é:

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Use a técnica de mudança de variável para calcular as integrais: .
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