Use a técnica de mudança de variável para calcular as integrais:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de . Esse exercício está na matéria de Cálculo Integral, mais especificamente usando a técnica de mudança de variável, que também é conhecida como substituição. Para resolver, a gente vai precisar identificar uma função dentro da integral que, ao ser substituída, simplifique a expressão para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável. Olha só, dentro da integral temos e
. Se a gente pensar na derivada de , lembramos que . Isso é uma baita dica para usarmos a substituição. Então, vamos definir uma nova variável
igual a .
Passo 3
Com a substituição , precisamos também substituir
na integral. Para isso, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Perceba que
já está presente na nossa integral original. Isso facilita muito a substituição!
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral original usando a variável
:
Com essa substituição, a integral ficou mais simples: só temos que integrar
em relação a
.
Passo 5
A próxima etapa é integrar
. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
Vamos escolher
e
. Então, diferenciando e integrando, temos:
Aplicando a fórmula:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, vamos substituir
de volta para termos de
. Lembrando que , temos:
Resposta
A integral é igual a , onde
é a constante de integração.
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Utilize as diversas técnicas vistas em sala para calcular as integrais a seguir:
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