Use a técnica de mudança de variável para calcular as integrais: integral ln (sen(x)) cos (x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de . Esse exercício está na matéria de Cálculo Integral, mais especificamente usando a técnica de mudança de variável, que também é conhecida como substituição. Para resolver, a gente vai precisar identificar uma função dentro da integral que, ao ser substituída, simplifique a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável. Olha só, dentro da integral temos e ln(sen(x)). Se a gente pensar na derivada de , lembramos que . Isso é uma baita dica para usarmos a substituição. Então, vamos definir uma nova variável cos(x) igual a .

Passo 3

Com a substituição , precisamos também substituir u = sen(x) na integral. Para isso, vamos calcular a derivada de dx em relação a u:
x
Perceba que dudx = cos(x) implies du = cos(x) , dx já está presente na nossa integral original. Isso facilita muito a substituição!

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral original usando a variável u:
Com essa substituição, a integral ficou mais simples: só temos que integrar integral ln(sen(x)) cdot cos(x) , dx = integral ln(u) , du em relação a ln(u).

Passo 5

A próxima etapa é integrar ln(u) , du. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher a = ln(u) e db = du. Então, diferenciando e integrando, temos:
da = 1u , du e b = u
Aplicando a fórmula:
integral ln(u) , du = u cdot ln(u) - integral u cdot 1u , du = u ln(u) - integral 1 , du = u ln(u) - u + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, vamos substituir u de volta para termos de x. Lembrando que , temos:

Resposta

A integral é igual a , onde sen(x) ln(sen(x)) - sen(x) + C é a constante de integração.

Exercícios relacionados