Use a técnica de mudança de variável para calcular as integrais: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de . Esse exercício está na matéria de Cálculo Integral, mais especificamente usando a técnica de mudança de variável, que também é conhecida como substituição. Para resolver, a gente vai precisar identificar uma função dentro da integral que, ao ser substituída, simplifique a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável. Olha só, dentro da integral temos e . Se a gente pensar na derivada de , lembramos que . Isso é uma baita dica para usarmos a substituição. Então, vamos definir uma nova variável igual a .

Passo 3

Com a substituição , precisamos também substituir na integral. Para isso, vamos calcular a derivada de em relação a :
Perceba que já está presente na nossa integral original. Isso facilita muito a substituição!

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral original usando a variável :
Com essa substituição, a integral ficou mais simples: só temos que integrar em relação a .

Passo 5

A próxima etapa é integrar . Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
Vamos escolher e . Então, diferenciando e integrando, temos:
Aplicando a fórmula:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, vamos substituir de volta para termos de . Lembrando que , temos:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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Utilize as diversas técnicas vistas em sala para calcular as integrais a seguir: .