Use o Teorema (11.15) para determinar se a série geométrica converge ou diverge; se convergir, ache sua soma.
(9)

Passo 1

Então, a gente tem uma série geométrica aqui: . Nosso objetivo é usar o Teorema (11.15) para descobrir se essa série converge ou diverge. Se ela convergir, vamos calcular a sua soma. Para isso, precisamos lembrar como funciona uma série geométrica e quais são as condições para ela convergir.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os elementos da nossa série geométrica. O primeiro termo é igual a 1. O termo que está sendo repetido é a razão , que nesse caso é . Uma série geométrica tem a forma geral .
Para que uma série geométrica infinita convirja, o valor absoluto da razão precisa ser menor que 1, ou seja, . Se essa condição for satisfeita, a série converge; caso contrário, ela diverge.

Passo 3

Vamos verificar se no nosso caso:
Como , a série geométrica converge.
Agora que sabemos que a série converge, podemos calcular a soma dela usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Substituindo os valores que temos:

Resposta

A série geométrica converge e a sua soma é .

Exercícios relacionados

Use o Teorema (11.15) para determinar se a série geométrica converge ou diverge; se convergir, ache sua soma.
8.
Use o Teorema (11.15) para determinar se a série geométrica converge ou diverge; se convergir, ache sua soma.
(2)
Use o Teorema (11.15) para determinar se a série geométrica converge ou diverge; se convergir, ache sua soma.
Determine se a sequência é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.