Use o Teorema (11.15) para determinar se a série geométrica converge ou diverge; se convergir, ache sua soma.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série geométrica dada por:
Vamos usar o Teorema (11.15), que trata da convergência das séries geométricas, para determinar se essa série converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos calcular a sua soma.

Passo 2

Uma série geométrica é uma soma infinita onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante . A forma geral de uma série geométrica é:
onde é o primeiro termo e é a razão comum entre os termos.

Passo 3

No nosso caso, o primeiro termo é 101 e a razão é . Então, podemos reescrever a série como:

Passo 4

Segundo o Teorema (11.15) das séries geométricas, a série converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, . Se isso acontecer, a soma da série é dada por:
Vamos verificar a condição:
Portanto, a série converge.

Passo 5

Agora que sabemos que a série converge, vamos calcular a soma usando a fórmula:
Simplificando o denominador:
Então:

Resposta

A série geométrica converge e a sua soma é:

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Use o Teorema (11.15) para determinar se a série geométrica converge ou diverge; se convergir, ache sua soma.
(9)
Use o Teorema (11.15) para determinar se a série geométrica converge ou diverge; se convergir, ache sua soma.
8.
Determine se a sequência é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
Determine se a sequência é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.