Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
(b) sumn=1^infty n-1n^2 raizn

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série converge ou diverge, utilizando o Teste da Comparação. Para isso, precisamos entender como comparar essa série com outra mais simples cuja convergência ou divergência já conhecemos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série:
n-1n^2 raizn = nn^2 raizn - 1n^2 raizn = 1n^1 raizn - 1n^2 raizn = 1n^1 + 1/2 - 1n^2 + 1/2 = 1n^3/2 - 1n^5/2
Isso mostra que cada termo da nossa série original é igual a .

Passo 3

Agora, vamos identificar uma série comparativa que seja mais fácil de analisar. Observamos que é maior que para todo . Portanto, podemos comparar a nossa série com .

Passo 4

Sabemos que a série converge se e diverge se . No nosso caso, , que é maior que 1. Assim, a série converge.

Passo 5

Como a nossa série original é menor que uma série convergente , pelo Teste da Comparação, podemos concluir que a série original também converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Comparação.

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