Use o Teorema 1 para encontrar os seguintes limites:
(b) lim n infty 2 n3 n+1

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que quer encontrar o limite quando vai para o infinito da expressão . Vamos usar o Teorema 1, que geralmente ajuda a calcular limites de funções racionais. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como as funções se comportam quando cresce bastante, tipo um crescimento assintótico.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar as funções no numerador e no denominador. No numerador, temos , que é uma função linear, e no denominador, temos , que também é linear. Quando vai para o infinito, os termos que têm normalmente dominam os constantes.

Passo 3

O próximo passo é identificar o termo de maior grau em ambas as partes da fração. No numerador, o termo de maior grau é , e no denominador, é . A ideia é que, para valores muito grandes de , os termos constantes (como o ) ficam desprezíveis comparados aos termos que têm .

Passo 4

Agora, vamos simplificar a fração dividindo tanto o numerador quanto o denominador por 2n3n + 1 = 2n div n3n div n + 1 div n = 23 + 1n , que é o maior grau que temos:

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite quando limn to infty 23 + 1n = 23 + 0 = 23 tende ao infinito. Sabemos que vai para zero quando cresce sem parar. Então, a expressão fica:

Resposta

O limite é .

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