Use o Teorema 1 para encontrar os seguintes limites:
© lim n infty a nb n+c, onde a, b, c in R, b neq 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para encontrar o limite de a nb n + c quando n tende ao infinito. A matéria que vamos usar aqui envolve limites de funções racionais (que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios). Para resolver isso, vamos precisar entender como os termos que crescem mais rápido (os de maior grau) influenciam o limite.

Passo 2

Primeiro, observe que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de primeiro grau em n. O termo que mais cresce conforme n aumenta é aquele com n elevado à maior potência. No numerador, temos a n, e no denominador, temos b n + c. Aqui, os termos com n são os que mais afetam o limite quando n vai para o infinito.

Passo 3

Para simplificar, vamos dividir cada termo da fração por n, que é a maior potência presente. Isso nos ajuda a ver o comportamento da função quando n cresce muito.
Então, dividimos o numerador e o denominador por n:
a nb n + c = a n div n(b n + c) div n = ab + cn

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece com cada parte dessa nova expressão quando n tende ao infinito. Sabemos que cn se aproxima de 0 quando n fica muito grande, porque estamos dividindo um número constante c por um número que cresce sem limites.
Então, temos:
ab + cn approx ab + 0 = ab

Resposta

Portanto, o limite é ab.

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