Use o Teorema 3 para encontrar os seguintes limites:
(d) lim n infty 3^n 7^-n

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite usando o Teorema 3. Esse tipo de limite envolve potências e é relacionado ao comportamento de uma sequência exponencial quando cresce indefinidamente. Para resolver, vamos precisar entender como comparar as bases das potências para determinar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar o entendimento. Temos 3^n cdot 7^-n = 3^n7^n multiplicado por , que é o mesmo que dividir por . Então:

Passo 3

Agora, percebemos que 3^n7^n = (37)^n pode ser simplificado como . Isso porque, quando dividimos potências com a mesma base, subtraímos os expoentes, mas aqui as bases são diferentes e estamos multiplicando uma pelas potências de no denominador:

Passo 4

O próximo passo é analisar o que acontece com quando tende ao infinito. Como é um número entre 0 e 1, elevar esse número a uma potência cada vez maior faz com que o resultado se aproxime de 0. Isso é uma propriedade das potências de números fracionários menores que 1.

Passo 5

Aplicando o Teorema 3, que nos diz que se lim n infty (37)^n = 0 , então , concluímos que:

Resposta

lim n infty 3^n 7^-n = 0

Exercícios relacionados