Use o Teorema de Green para calcular a área da região limitada pelo círculo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região que está dentro do círculo definido pela equação . Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que é uma ferramenta poderosa do cálculo vetorial para transformar integrais de linha em integrais duplas, facilitando nossos cálculos. Vamos precisar entender um pouquinho sobre integrais e como aplicar o Teorema de Green para achar a área que queremos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que, para uma curva fechada e uma região que ela delimita, podemos transformar uma integral de linha ao redor de em uma integral dupla sobre . A fórmula do Teorema de Green é:
Para calcular a área usando o Teorema de Green, podemos escolher funções e de forma que a expressão seja igual a 1, que é justamente o que precisamos para encontrar a área.

Passo 3

Uma escolha comum para e que satisfaz essa condição é:
Vamos verificar:
Então,
Isso significa que podemos usar essas funções para calcular a área.

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema de Green com e , temos:
Á
Essa integral de linha ao redor do círculo vai nos dar a área da região dentro dele.

Passo 5

Vamos parametrizar o círculo usando coordenadas polares. Seja:
onde varia de a . As derivadas de e em relação a são:

Passo 6

Substituindo , , e na integral, temos:
Á
Simplificando:
Á

Passo 7

Fatorando o 9/2:
Á
Sabemos que , então:
Á

Resposta

A área da região limitada pelo círculo é unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Uma partícula se move ao longo de uma linha reta com velocidade metros por segundo para . Encontre: (i) o deslocamento e (ii) a distância total percorrida no intervalo de tempo dado.
Encontre a integral ao longo do caminho que vai de a via o ponto .
Utilize o método das seções transversais para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região e um disco ou anel típicos.
em torno do eixo
Calcule a integral , onde é a circunferência , usando o Teorema de Green, para e .