Use a transformada de Laplace para encontrar a solução do problema dado. ;

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial usando a transformada de Laplace. Precisamos encontrar a função que satisfaz as condições iniciais e . Para isso, vamos utilizar propriedades da transformada de Laplace e resolver a equação no domínio de Laplace antes de retornar para o domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Lembre-se das seguintes propriedades:
Aplicando isso na equação, obtemos:

Passo 3

Substituímos as condições iniciais e na equação:
Simplificando:

Passo 4

Agrupamos os termos que contêm e os termos constantes:
Isolamos :

Passo 5

Vamos simplificar a fração para aplicar a transformada inversa. Completamos o quadrado no denominador:
Portanto:

Passo 6

Dividimos o numerador para facilitar a aplicação da transformada inversa:
Assim:

Passo 7

Aplicamos a transformada inversa de Laplace usando as fórmulas conhecidas:
No nosso caso, e (já que ). Então:

Resposta

Assim, a solução da equação diferencial é:

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Obtenha as derivadas parciais das seguintes funções:
Use a transformada de Laplace para encontrar a solução do problema dado. ;
Use a transformada de Laplace para encontrar a solução do problema dado. ;
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
, é o retângulo com vértices e