Use a transformada de Laplace para encontrar a solução
do problema dado.
;
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
usando a transformada de Laplace. Precisamos encontrar a função
que satisfaz as condições iniciais
e
. Para isso, vamos utilizar propriedades da transformada de Laplace e resolver a equação no domínio de Laplace antes de retornar para o domínio do tempo.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Lembre-se das seguintes propriedades:
Aplicando isso na equação, obtemos:
Passo 3
Substituímos as condições iniciais
e
na equação:
Simplificando:
Passo 4
Agrupamos os termos que contêm
e os termos constantes:
Isolamos
:
Passo 5
Vamos simplificar a fração para aplicar a transformada inversa. Completamos o quadrado no denominador:
Portanto:
Passo 6
Dividimos o numerador para facilitar a aplicação da transformada inversa:
Assim:
Passo 7
Aplicamos a transformada inversa de Laplace usando as fórmulas conhecidas:
No nosso caso,
e
(já que
). Então:
Resposta
Assim, a solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Obtenha as derivadas parciais das seguintes funções:
Use a transformada de Laplace para encontrar a solução
do problema dado.
;
Use a transformada de Laplace para encontrar a solução
do problema dado.
;
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
,
é o retângulo com vértices
e