Use a transformada de Laplace para encontrar a solução y(t) do problema dado. y'' + 3y' + 2y = 6e^t, y(0) = 1, y'(0) = -1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O problema dado é:
com as condições iniciais e .
Vamos precisar lembrar como aplicar a Transformada de Laplace em derivadas e resolver equações algébricas para encontrar , que é a transformada de . Depois, faremos a Transformada Inversa de Laplace para achar .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que:
e
Aplicando isso na equação:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão:
Agrupando os termos com :
Isolando :

Passo 4

Vamos fatorar o denominador:
Então, a expressão para fica:
Expandindo o numerador:
então:
Agora, decompomos em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar , escolhemos valores de que simplificam a equação:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Então, temos:

Passo 5

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar :
Aplicando isso:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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