Use a transformada de Laplace para encontrar a solução
do problema dado.
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O problema dado é:
com as condições iniciais
e
.
Vamos precisar lembrar como aplicar a Transformada de Laplace em derivadas e resolver equações algébricas para encontrar
, que é a transformada de
. Depois, faremos a Transformada Inversa de Laplace para achar
.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que:
e
Aplicando isso na equação:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa expressão:
Agrupando os termos com
:
Isolando
:
Passo 4
Vamos fatorar o denominador:
Então, a expressão para
fica:
Expandindo o numerador:
então:
Agora, decompomos em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para encontrar
, escolhemos valores de
que simplificam a equação:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Então, temos:
Passo 5
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar
:
Aplicando isso:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Use a transformada de Laplace para encontrar a solução
do problema dado.
;
Obtenha as derivadas parciais das seguintes funções:
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
,
é o retângulo com vértices
e
Use o Teorema de Green para calcular
. (Confira a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)