Use a transformada de Laplace para encontrar a solução do problema dado. ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O problema dado é:
com as condições iniciais e .
Vamos precisar lembrar como aplicar a Transformada de Laplace em derivadas e resolver equações algébricas para encontrar , que é a transformada de . Depois, faremos a Transformada Inversa de Laplace para achar .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que:
e
Aplicando isso na equação:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão:
Agrupando os termos com :
Isolando :

Passo 4

Vamos fatorar o denominador:
Então, a expressão para fica:
Expandindo o numerador:
então:
Agora, decompomos em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar , escolhemos valores de que simplificam a equação:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Então, temos:

Passo 5

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar :
Aplicando isso:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Use a transformada de Laplace para encontrar a solução do problema dado. ;
Obtenha as derivadas parciais das seguintes funções:
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
, é o retângulo com vértices e
Use o Teorema de Green para calcular . (Confira a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)