Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
integralC 2 x y d x+x^2 d y, C é o cardioide r=1+cos theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado nos dá a integral integralC 2xy, dx + x^2, dy, onde C é uma cardioide definida por r = 1 + cos theta com orientação positiva. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo a integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada C com uma integral dupla sobre a região D delimitada por C. A fórmula é:
ointC P, dx + Q, dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Aqui, P = 2xy e Q = x^2.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (x^2) = 2x
partial Ppartial y = partialpartial y (2xy) = 2x
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2x - 2x = 0

Passo 4

Percebemos que a diferença partial Qpartial x - partial Ppartial y é igual a zero. Isso significa que a integral dupla sobre a região D também será zero:
integral duplaD 0, dA = 0

Passo 5

Portanto, pela aplicação do Teorema de Green, a integral de linha original também é zero:
ointC 2xy, dx + x^2, dy = 0

Resposta

A integral de linha integralC 2xy, dx + x^2, dy ao longo da cardioide r = 1 + cos theta com orientação positiva é igual a 0.

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