Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
é o cardioide
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado nos dá a integral
, onde
é uma cardioide definida por
com orientação positiva. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo a integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
delimitada por
. A fórmula é:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
Passo 4
Percebemos que a diferença
é igual a zero. Isso significa que a integral dupla sobre a região
também será zero:
Passo 5
Portanto, pela aplicação do Teorema de Green, a integral de linha original também é zero:
Resposta
A integral de linha
ao longo da cardioide
com orientação positiva é igual a 0.
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Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
, onde
e
é a elipse
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
é o círculo
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
,
consiste no segmento de reta de
a
e na curva
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
,
consiste no segmento de reta de
a
e na metade superior do círculo