Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
,
consiste no segmento de reta de
a
e na curva
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício utilizando o Teorema de Green. O enunciado nos pede para calcular uma integral de linha ao longo de uma curva específica com orientação positiva. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Green e como aplicá-lo a integrais de linha. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a integral que queremos calcular:
Aqui,
é a curva composta por dois trechos:
- Um segmento de reta de
a . - A curva
para .
Passo 3
O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
limitada por
. A fórmula do Teorema de Green é:
Onde
e
são funções das coordenadas
e
.
Passo 4
Vamos identificar
e
na nossa integral:
Passo 5
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais
e
:
Passo 6
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Passo 7
Agora, precisamos definir a região
limitada pela curva
. A curva
é composta por:
- O segmento de reta de
a . - A curva
de a .
Essa região
está entre o eixo
e a curva
, para
.
Passo 8
Vamos configurar a integral dupla:
Aqui, estamos integrando
de
até
para cada
de
a
.
Passo 9
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 10
Agora, integramos em relação a
:
Para resolver essa integral, usamos integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Então:
Avaliado de
a
:
Resposta
A integral de linha ao longo da curva
é igual a
.
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e
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a
e na metade superior do círculo
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,
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e pela reta
e pela reta