Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
integralC(x y+e^x^2) d x+(x^2-ln (1+y)) d y,
C consiste no segmento de reta de (0,0) a (pi, 0) e na curva y=sen x, 0 <= x <= pi

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício utilizando o Teorema de Green. O enunciado nos pede para calcular uma integral de linha ao longo de uma curva específica com orientação positiva. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Green e como aplicá-lo a integrais de linha. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a integral que queremos calcular:
integralC(x y + e^x^2) dx + (x^2 - ln (1+y)) dy
Aqui, é a curva composta por dois trechos:
  1. Um segmento de reta de a .
  2. A curva para .

Passo 3

O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA com uma integral dupla sobre a região limitada por . A fórmula do Teorema de Green é:
Onde e são funções das coordenadas e .

Passo 4

Vamos identificar P(x, y) = x y + e^x^2, Q(x, y) = x^2 - ln (1+y) e na nossa integral:

Passo 5

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais partial Qpartial x = partialpartial x ( x^2 - ln (1+y) ) = 2x e partial Ppartial y = partialpartial y ( x y + e^x^2 ) = x :

Passo 6

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA = integral duplaD (2x - x) dA = integral duplaD x , dA

Passo 7

Agora, precisamos definir a região limitada pela curva . A curva é composta por:
  1. O segmento de reta de a .
  2. A curva de a .
Essa região está entre o eixo e a curva , para .

Passo 8

Vamos configurar a integral dupla:
integral duplaD x , dA = integral0^pi integral0^sin x x , dy , dx
Aqui, estamos integrando de até para cada de a .

Passo 9

Primeiro, integramos em relação a integral0^sin x x , dy = x [ y ]0^sin x = x cdot sin x :

Passo 10

Agora, integramos em relação a integral0^pi x cdot sin x , dx :
u = x Rightarrow du = dx
Para resolver essa integral, usamos integração por partes, onde:
dv = sin x , dx Rightarrow v = -cos x
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x cdot sin x , dx = -x cos x + integral cos x , dx = -x cos x + sin x
Então:
[ -x cos x + sin x ]0^pi = ( -pi cos pi + sin pi ) - ( -0 cos 0 + sin 0 ) = -pi (-1) + 0 - (0 + 0) = pi
Avaliado de a :

Resposta

A integral de linha ao longo da curva é igual a .

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